====== 图匹配 ======

**匹配** 或是 **独立边集** 是一张图中没有公共点的集合。在二分图中求匹配等价于网络流问题。

图匹配算法是信息学竞赛中常用的算法，总体分为最大匹配以及最大权匹配，先从二分图开始介绍，再进一步提出一般图的做法。

===== 图的匹配 =====

在图论中，假设图 $G=(V,E)$，其中 $V$ 是点集，$E$ 是边集。

一组两两没有公共点的边集 $(M(M\in E))$ 称为这张图的 **匹配**。

定义匹配的大小为其中边的数量 $\mid M\mid$，其中边数最大的 $M$ 为 **最大匹配**。

当图中的边带权的时候，边权和最大的为 **最大权匹配**。

匹配中的边称为 **匹配边**，反之称为 **未匹配边**。

一个点如果属于 $M$ 且为至多一条边的端点，称为 **匹配点**，反之称为 **未匹配点**。

  * maximal matching: 无法再增加匹配边的匹配。不见得是最大匹配。
  * 最大匹配(maximum matching): 匹配数最多的匹配。
  * 完美匹配(perfect matching): 所有点都属于匹配，同时也符合最大匹配。
  * 近完美匹配(near-perfect matching): 发生在图的点数为奇数，刚好只有一个点不在匹配中，扣掉此点以后的图称为 factor-critical graph。

{{https://oi-wiki.org/topic/graph-matching/images/graph-match-1.png| graph-match-1}}

**maximal matching**

{{https://oi-wiki.org/topic/graph-matching/images/graph-match-2.png| graph-match-2}}

**最大匹配**

===== 二分图匹配 =====

{{https://oi-wiki.org/topic/graph-matching/images/graph-match-3.png| graph-match-3}}

一张二分图上的匹配称作二分图匹配。

设 $G$ 为二分图，若在 $G$ 的子图 $M$ 中，任意两条边都没有公共点，那么称 $M$ 为二分图 $G$ 的一个匹配，且 $M$ 的边数为匹配数。

==== 完备匹配 ====

设 $G=<V_1,V_2,E>$ 为二分图，$\mid V_1\mid\le\mid V_2\mid$，$M$ 为 $G$ 中一个最大匹配，且 $\mid M\mid=2\mid V_1\mid$，则称 $M$ 为 $V_1$ 到 $V_2$ 的完备匹配。

==== 霍尔定理 ====

设二分图 $G=<V_1,V_2,E>,|V_1|\le|V_2|$，则 $G$ 中存在 $V_1$ 到 $V_2$ 的完备匹配当且仅当对于任意的 $S\subset V_1$，均有 $|S|\le|N(S)|$，其中 $N(S)=\Cup_{v_i\in S}{N(V_i)}$，是 $S$ 的邻域。

==== 最大匹配 ====

寻找二分图边数最大的匹配称为最大匹配问题。

===== 算法 =====

组合优化中的一个基本问题是求 **最大匹配(maximum matching)**。

==== 二分图最大匹配 ====

在无权二分图中，Hopcroft-Karp 算法可在 $O(\sqrt VE)$ 解决。

==== 二分图最大权匹配 ====

在带权二分图中，可用 Hungarian 算法解决。如果在最短路搜寻中用 Bellman-Ford 算法，时间复杂度为 $O(V^2E)$，如果用 Dijkstra 算法或 Fibonacci heap，可用 $O(V^2\log V+VE)$ 解决。

==== 一般图最大匹配 ====

无权一般图中，Edmonds’ blossom 算法可在 $O(V^2E)$ 解决。

==== 一般图最大权匹配 ====

带权一般图中，Edmonds’ blossom 算法可在 $O(V^2E)$ 解决。

===== 参考链接 =====

[[https://oi-wiki.org/topic/graph-matching/graph-match/|OI Wiki]]