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====== 增广路定理 Berge’s lemma ======

这是最大匹配的一个重要理论。

  * 交错路 (alternating path) 始于非匹配点且由匹配边与非匹配边交错而成。
  * 增广路 (augmenting path) 是始于非匹配点且终于非匹配点的交错路。

增广路上非匹配边比匹配边数量多一，如果将匹配边改为非匹配边，反之亦然，则匹配大小会增加一且依然是交错路。

{{https://oi-wiki.org/topic/graph-matching/images/augment-1.png| augment-1}}

如图 匹配数从 2 增加为 3，我们称此过程为 **增广**。

根据 Berge’s lemma 当找不到增广路的时候，得到最大匹配。

由此定理可知我们求最大匹配的核心思路。

> 核心思路
> 
> 枚举所有未匹配点，找增广路径，直到找不到增广路径

事实上，对于每个点只要枚举一次就好。

{{https://oi-wiki.org/topic/graph-matching/images/augment-2.png| augment-2}}

假设某一轮沿着增广路 $a-b$ 增广后，出现了以 $x$ 为起点的增广路 $P_x$，则 $P_x$ 必相交 $a-b$。假设 $P_x$ 第一次碰上 $a-b$，由于 $a-b$ 是交错路，意味着相交点是不同类型的（图中以红和蓝表示），那增广前 $x$ 就能走到 $a-b$ 中的某个未匹配点，说明早已存在从 $x$ 出发的增广路。

===== 参考链接 =====

[[https://oi-wiki.org/topic/graph-matching/augment/|OI Wiki]]