====== 最小割 ======

===== 概念 =====

==== 割 ====

对于一个网络流图 $G=(V,E)$，其割的定义为一种 **点的划分方式**：将所有的点划分为 $S$ 和 $T=V-S$ 两个集合，其中源点 $s\in S$，汇点 $t\in T$。

==== 割的容量 ====

我们定义割 $(S,T)$ 的容量 $c(S,T)$ 表示所有从 $S$ 到 $T$ 的边的容量之和，即 $c(S,T)=\sum_{u\in S,v\in T}c(u,v)$。当然我们也可以用 $c(s,t)$ 表示 $c(S,T)$。

==== 最小割 ====

最小割就是求得一个割 $(S,T)$ 使得割的容量 $c(S,T)$ 最小。

===== 证明 =====

==== 最大流最小割定理 ====

**定理**：$f(s,t)_{max}=c(s,t)_{min}$

对于任意一个可行流 $f(s,t)$ 的割 $(S,T)$，我们可以得到：

$f(s,t)=S_{出边的总流量}-S_{入边的总流量}\le S_{出边的总流量}=c(s,t)$

如果我们求出了最大流 $f$，那么残余网络中一定不存在 $s$ 到 $t$ 的增广路径，也就是 $S$ 的出边一定是满流，$S$ 的入边一定是零流，于是有：

$f(s,t)=S_{出边的总流量}-S_{入边的总流量}=S_{出边的总流量}=c(s,t)$

结合前面的不等式，我们可以知道此时 $f$ 已经达到最大。

===== 代码 =====

==== 最小割 ====

通过 **最大流最小割定理**，我们可以直接得到如下代码：

参考代码：

<hidden>
<code cpp>
#include <algorithm>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <queue>

const int N = 1e4 + 5, M = 2e5 + 5;
int n, m, s, t, tot = 1, lnk[N], ter[M], nxt[M], val[M], dep[N], cur[N];

void add(int u, int v, int w) {
  ter[++tot] = v, nxt[tot] = lnk[u], lnk[u] = tot, val[tot] = w;
}
void addedge(int u, int v, int w) { add(u, v, w), add(v, u, 0); }
int bfs(int s, int t) {
  memset(dep, 0, sizeof(dep));
  memcpy(cur, lnk, sizeof(lnk));
  std::queue<int> q;
  q.push(s), dep[s] = 1;
  while (!q.empty()) {
    int u = q.front();
    q.pop();
    for (int i = lnk[u]; i; i = nxt[i]) {
      int v = ter[i];
      if (val[i] && !dep[v]) q.push(v), dep[v] = dep[u] + 1;
    }
  }
  return dep[t];
}
int dfs(int u, int t, int flow) {
  if (u == t) return flow;
  int ans = 0;
  for (int &i = cur[u]; i && ans < flow; i = nxt[i]) {
    int v = ter[i];
    if (val[i] && dep[v] == dep[u] + 1) {
      int x = dfs(v, t, std::min(val[i], flow - ans));
      if (x) val[i] -= x, val[i ^ 1] += x, ans += x;
    }
  }
  if (ans < flow) dep[u] = -1;
  return ans;
}
int dinic(int s, int t) {
  int ans = 0;
  while (bfs(s, t)) {
    int x;
    while ((x = dfs(s, t, 1 << 30))) ans += x;
  }
  return ans;
}
int main() {
  scanf("%d%d%d%d", &n, &m, &s, &t);
  while (m--) {
    int u, v, w;
    scanf("%d%d%d", &u, &v, &w);
    addedge(u, v, w);
  }
  printf("%d\n", dinic(s, t));
  return 0;
}
</code>
</hidden>


==== 方案 ====

我们可以通过从源点 $s$ 开始 $\text{DFS}$，每次走残量大于 $0$ 的边，找到所有 $S$ 点集内的点。

<code cpp>
void dfs(int u) {
  vis[u] = 1;
  for (int i = lnk[u]; i; i = nxt[i]) {
    int v = ter[i];
    if (!vis[v] && val[i]) dfs(v);
  }
}
</code>
==== 割边数量 ====

只需要将每条边的容量变为 $1$，然后重新跑 $\text{Dinic}$ 即可。

===== 问题模型——二者取一式问题 =====

二者取一式问题可以这样描述：将若干元素 $e_1,e_2,e_3,\cdots,e_n$ 划分到两个集合 $A,B$ 中。对于元素 $e_i$，它被划分到 $A$ 或 $B$ 中分别能获得一个 $a_{e_i}$ 或 $b_{e_i}$ 的分值。除此之外，还给出若干个组合 $C_i\subseteq A$，当组合中的元素被同时划分到 $A$ 或 $B$ 时，可以获得额外的分值 $a_i'$ 或 $b_i'$。求最大的分值。

这个问题可以被转化为网络流中的 **最小割**问题。如果我们把 $A$ 作为源点，$B$ 作为汇点，那么这个网络的一个 **割** 就是一种划分方法。如果没有组合的话，我们很容易就能建出这样的模型：

{{https://picb.zhimg.com/80/v2-8ca41bb30358f5b4d95addf974e497c7_720w.jpg| img}}

当我们去割它时，与 $A$ 连通的点代表放到 $A$ 集合中，与 $B$ 连通的点代表放到 $B$ 集合中。当这个割是最小割时，剩下的边的容量和是最大的，故设最小割为 ''%%cut%%''，边权总和为 ''%%sum%%''，则所求最大分值为 ''%%sum-cut%%''。

现在我们考虑组合。假设 $C_1=\{e_1,e_2\}$，且对应的额外分值为 $a_1'$ 和 $b_1'$。我们从 $A$ 点伸出一条容量为 $a_1'$ 的边通向虚点 $X$：

{{https://pic4.zhimg.com/80/v2-7d33e345ace0c6873f633477c30ad9ba_720w.jpg| img}}

现在我们的需求是：只有当 1、2 点都被归入 $A$ 所在点集时，$X$ 才与 $A$ 连通。

反过来想，当 1 被归入 $B$ 所在点集时，要让 $A\rightarrow X$ 被割掉。很自然地想到，让 $X$ 连向 1，这样当 1 被归入 $B$ 所在点集时，$A\rightarrow X\rightarrow 1$ 必然会断，否则 $A$ 就与 $B$ 连通了。但如何确保割掉的是 $A\rightarrow X$ 而不是 $X\rightarrow 1$ 呢？只要令 $X\rightarrow 1$ 的容量为 INF 即可，无穷大边不会被割掉。2 号点同理。

{{https://pic2.zhimg.com/80/v2-4f7c46fa4a92f473e8465d2a985c16d9_720w.jpg| img}}

对于 $B$ 号点，道理是一样的：

{{https://pic2.zhimg.com/80/v2-3f06c22d87598fc1b5c1774376d303c3_720w.jpg| img}}

好了，这就是我们需要的模型。这时我们求最小割 ''%%cut%%''，并记非无穷边权和为 ''%%sum%%''，那么跟刚刚一样，''%%sum-cut%%'' 就是所求分数。

===== 习题 =====

[[https://www.luogu.com.cn/problem/P1344|「USACO 4.4」Pollutant Control]]

[[https://www.luogu.com.cn/problem/P1345|「USACO 5.4」Telecowmunication]]

[[https://www.luogu.com.cn/problem/P1361|「Luogu 1361」小 M 的作物]]

[[https://www.luogu.com.cn/problem/P2057|「SHOI 2007」善意的投票]]

===== 参考链接 =====

[[https://oi-wiki.org/graph/flow/min-cut/|OI Wiki]]

[[https://zhuanlan.zhihu.com/p/123308502|算法学习笔记(29): 二者取一式问题]]