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====== 2-SAT ======
> SAT 是适定性（Satisfiability）问题的简称。一般形式为 k - 适定性问题，简称 k-SAT。而当 $k>2$ 时该问题为 NP 完全的。所以我们只研究 $k=2$ 的情况。
===== 定义 =====
2-SAT，简单地说就是给出 $n$ 个集合，每个集合有两个元素，已知若干个 $$，表示 $a$ 与 $b$ 矛盾（其中 $a$ 与 $b$ 属于不同的集合）。然后从每个集合选择一个元素，判断能否一共选 $n$ 个两两不矛盾的元素。显然可能有多种选择方案，一般题中只需要求出一种即可。
===== 现实意义 =====
比如邀请人来吃喜酒，夫妻二人必须去一个，然而某些人之间有矛盾（比如 A 先生与 B 女士有矛盾，C 女士不想和 D 先生在一起），那么我们要确定能否避免来人之间没有矛盾，有时需要方案。这是一类生活中常见的问题。
使用布尔方程表示上述问题。设 $a$ 表示 $A$ 先生去参加，那么 $B$ 女士就不能参加 $(\neg a);b$ 表示 $C$ 女士参加，那么 $\neg b$ 也一定成立（D 先生不参加）。总结一下，即 $(a \vee b)$（变量 $a,b$ 至少满足一个）。对这些变量关系建有向图，则有：$\neg a\Rightarrow b\ \wedge \neg b\Rightarrow a $（$a$ 不成立则 $b$ 一定成立；同理，$b$ 不成立则 $a$ 一定成立）。建图之后，我们就可以使用缩点算法来求解 2-SAT 问题了。
===== 常用解决方法 =====
==== Tarjan SCC 缩点 ====
算法考究在建图这点，我们举个例子来讲：
假设有 $a1,a2$ 和 $b1,b2$ 两对，已知 $a1$ 和 $b2$ 间有矛盾，于是为了方案自洽，由于两者中必须选一个，所以我们就要拉两条有向边 $(a1,b1)$ 和 $(b2,a2)$ 表示选了 $a1$ 则必须选 $b1$，选了 $b2$ 则必须选 $a2$ 才能够自洽。
然后通过这样子建边我们跑一遍 Tarjan SCC 判断是否有一个集合中的两个元素在同一个 SCC 中，若有则输出不可能，否则输出方案。构造方案只需要把几个不矛盾的 SCC 拼起来就好了。
输出方案时可以通过变量在图中的拓扑序确定该变量的取值。如果变量 $\neg x$ 的拓扑序在 $x$ 之后，那么取 $x$ 值为真。应用到 Tarjan 算法的缩点，即 $x$ 所在 SCC 编号在 $\neg x$ 之前时，取 $x$ 为真。因为 Tarjan 算法求强连通分量时使用了栈，所以 Tarjan 求得的 SCC 编号相当于反拓扑序。
显然地，时间复杂度为 $O(n+m)$。
===== 例题 =====
**HDU 3062 [[http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=3062|Party]]**
> 题面：有 $n$ 对夫妻被邀请参加一个聚会，因为场地的问题，每对夫妻中只有 $1$ 人可以列席。在 $2n$ 个人中，某些人之间有着很大的矛盾（当然夫妻之间是没有矛盾的），有矛盾的 $2$ 个人是不会同时出现在聚会上的。有没有可能会有 $n$ 个人同时列席？
这是一道多校题，裸的 2-SAT 判断是否有方案，按照我们上面的分析，如果 $a1$ 中的丈夫和 $a2$ 中的妻子不合，我们就把 $a1$ 中的丈夫和 $a2$ 中的丈夫连边，把 $a2$ 中的妻子和 $a1$ 中的妻子连边，然后缩点染色判断即可。
参考代码：
#include
using namespace std;
const int N=3e3+20;
int dfn[N],s[N],top,low[N],cnt;
int sc,scc[N];
bool in[N];
vectoradj[N];
void add(int u,int v){
adj[u].push_back(v);
}
void tarjan(int u){
dfn[u]=low[u]=++cnt;
s[++top]=u;
in[u]=1;
for(int i=0;i
**2018-2019 ACM-ICPC Asia Seoul Regional K [[http://codeforces.com/gym/101987|TV Show Game]]**
> 题面：有 $k(k>3)$ 盏灯，每盏灯是红色或者蓝色，但是初始的时候不知道灯的颜色。有 $n$ 个人，每个人选择 3 盏灯并猜灯的颜色。一个人猜对两盏灯或以上的颜色就可以获得奖品。判断是否存在一个灯的着色方案使得每个人都能领奖，若有则输出一种灯的着色方案。
这道题在判断是否有方案的基础上，在有方案时还要输出一个可行解。
根据 [[https://wenku.baidu.com/view/31fd7200bed5b9f3f90f1ce2.html|伍昱 -《由对称性解 2-sat 问题》]] ，我们可以得出：如果要输出 2-SAT 问题的一个可行解，只需要在 tarjan 缩点后所得的 DAG 上自底向上地进行选择和删除。
具体实现的时候，可以通过构造 DAG 的反图后在反图上进行拓扑排序实现；也可以根据 tarjan 缩点后，所属连通块编号越小，节点越靠近叶子节点这一性质，优先对所属连通块编号小的节点进行选择。
下面给出第二种实现方法的代码。
参考代码：
#include
using namespace std;
const int maxn = 1e4 + 5;
const int maxk = 5005;
int n, k;
int id[maxn][5];
char s[maxn][5][5], ans[maxk];
bool vis[maxn];
struct Edge {
int v, nxt;
} e[maxn * 100];
int head[maxn], tot = 1;
void addedge(int u, int v) {
e[tot].v = v;
e[tot].nxt = head[u];
head[u] = tot++;
}
int dfn[maxn], low[maxn], color[maxn], stk[maxn], ins[maxn], top, dfs_clock, c;
void tarjan(int x) {
stk[++top] = x;
ins[x] = 1;
dfn[x] = low[x] = ++dfs_clock;
for (int i = head[x]; i; i = e[i].nxt) {
int v = e[i].v;
if (!dfn[v]) {
tarjan(v);
low[x] = min(low[x], low[v]);
} else if (ins[v])
low[x] = min(low[x], dfn[v]);
}
if (dfn[x] == low[x]) {
c++;
do {
color[stk[top]] = c;
ins[stk[top]] = 0;
} while (stk[top--] != x);
}
}
int main() {
scanf("%d %d", &k, &n);
for (int i = 1; i <= n; i++) {
for (int j = 1; j <= 3; j++) scanf("%d%s", &id[i][j], s[i][j]);
for (int j = 1; j <= 3; j++) {
for (int k = 1; k <= 3; k++) {
if (j == k) continue;
int u = 2 * id[i][j] - (s[i][j][0] == 'B');
int v = 2 * id[i][k] - (s[i][k][0] == 'R');
addedge(u, v);
}
}
}
for (int i = 1; i <= 2 * k; i++)
if (!dfn[i]) tarjan(i);
for (int i = 1; i <= 2 * k; i += 2)
if (color[i] == color[i + 1]) {
puts("-1");
return 0;
}
for (int i = 1; i <= 2 * k; i += 2) {
int f1 = color[i], f2 = color[i + 1];
if (vis[f1]) {
ans[(i + 1) >> 1] = 'R';
continue;
}
if (vis[f2]) {
ans[(i + 1) >> 1] = 'B';
continue;
}
if (f1 < f2) {
vis[f1] = 1;
ans[(i + 1) >> 1] = 'R';
} else {
vis[f2] = 1;
ans[(i + 1) >> 1] = 'B';
}
}
ans[k + 1] = 0;
printf("%s\n", ans + 1);
return 0;
}
===== 练习题 =====
HDU1814 [[http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1814|和平委员会]]
POJ3683 [[http://poj.org/problem?id=3683|牧师忙碌日]]
===== 参考链接 =====
[[https://oi-wiki.org/graph/2-sat/|OI Wiki]]