======初等数论三大定理和缩系乘法群====== =====前言===== 这篇和算法没什么关系，纯粹是基础知识。 如果哪位学弟有幸进了网安，那么学完本文可以保证大二上抽代90+。虽然本文作者不是网安的（滑稽） 初等数论三大定理，指将整个初等数论框架支撑起来的三个定理，分别是Fermat-Euler（费马欧拉）定理、Wilson（威尔逊）定理和Chinese-Residue（中国剩余）定理。 其中，FE定理说明取模意义下缩系（简化剩余系/缩剩余系）集合的乘法构成群，Wilson定理揭示了模为素数的乘法群的结构，而CR定理阐述了怎样将群和群结合起来，即多素因子模数乘法群的结构问题。 它们三者的本质，都是解释缩系乘法群的结构问题。而研究缩系乘法群的结构，最终结论的形式是：奇素数幂次群结构、2的幂次群结构、CR定理，三个定理作为最终的最高结论。 =====Fermat-Euler定理===== ====内容==== 设欧拉函数$\varphi(n)$是0到n-1里与n互素的数（缩剩余系）的个数，即缩系乘法群的阶。对于缩系中任一元素a，有： $$a^{\varphi(n)}\equiv 1\quad \bmod n$$ 特别地，当n是单个素数p的时候，$\varphi(p)$是p-1。即：（费马小定理） $$a^{p-1}\equiv 1\quad \bmod p$$ 这其实是群论里的定理。任意一个群，群里任意一个元素，自乘群的阶次，一定会回到单位元。即：元素的阶整除群的阶。 证明也简单：对缩系所有元素同时进行乘法操作，构成缩系元素的一个置换。（也可以采用群论中陪集的方法） 这个定理在数学题或者算法中，一般用于简化幂次。例如快速幂函数。 ====推广==== 将研究对象转移到缩系以外。在完系（完全剩余系）中，任一元素a，有相似结论： $$a^{t+\varphi\left(\frac{n}{(a^t,n)}\right)}\equiv a^{t}\quad \bmod n$$ 对于足够大的整数t成立。意思是，a本身自乘很多次后，也会落入循环中，循环节是n去除a^t与n最大公约数的缩系元素个数的约数。 并且这个足够大的t，一般要求a与n重合的那部分素因数被“消除”干净了，即a^t这部分素因数的幂次已经达到或超过了n中的相应幂次。 这个证明是显然的，分素因数讨论即可。 由于欧拉函数的积性，循环节显然是$\varphi(n)$的约数。因此弱化一下就是这样： $$a^{t+\varphi\left(n\right)}\equiv a^{t}\quad \bmod n$$ 这个更方便理解和使用。 =====Wilson定理===== ====内容==== 对于任一素数p，1到p-1的乘积，模p余-1。即： $$(p-1)!\equiv -1\quad \bmod p$$ 或写为比较常见（方便使用）的形式： $$(n-2)!\equiv \begin{cases}1\quad \bmod n&n\ is\ prime\\0\quad \bmod n&others\end{cases}$$ 等价条件，显然可以用于判定素数，像费马小定理都还有无数个特例存在。但是由于阶乘太大了，且判断余数没有速算法，导致时间复杂度比正常因数分解还要高，所以没人选择这么做。 既然要研究缩系乘法群，那么缩系所有元素乘积自然很重要。Wilson定理说明它是-1。 证明也特别简单：数论倒数两两配对即可。只有两个无法配对的数，1和-1，因此最终结果是-1。 这个定理常用于解决剩余问题，在算法中基本不会遇到。 ====推广==== 模不是素数的时候，缩系中所有元素的乘积如何？ 对于奇素数的幂次： $$\prod\limits_{(a,p)=1}a\equiv (-1)\quad \bmod p^t$$ 对于2的幂次：4以下仍然是-1，但是8以上全是1。 当n有原根的时候，即n属于2、4、$p^a$、$2p^a$的时候，由于缩系是循环群，每个数显然有唯一的数论倒数配对，只有-1不能配对。所以结果还是-1。 对于其他的整数n，情形如何？我们继续考虑配对法，那么关键就变为了求这个方程的解： $$x^2\equiv 1 \mod n$$ 最后要计算全体解的乘积。 当n被4整除的时候，2的幂的情形已经解决了。对于非2的幂的情形，n含有其他的奇素因子。设其中一个含a个，即n含有$p^a$，由中国剩余定理，解分为两部分： $$x\equiv 1 \mod p^a$$ $$x\equiv -1 \mod p^a$$ 每一个奇素数p均如此。现在说明，同余于-1的那部分解一定是偶数个，从而全体乘积模$p^a$余数为1。 仍旧用配对的思想。对于每一个同余于-1的解，找另外一个与它配对的同余于-1的解。 模2的幂的那个维度与它不相关。每有一个模4余1的解，必然也有一个模4余-1的解与它配对。因此是偶数个。 同理，模2的幂的部分也可以采用配对法。含有多个奇素数的情形也同理。 那么最终结果为： $$ \prod_{(a,n)=1}a\equiv\begin{cases} &-1&n=1,2,4,p^{a},2p^{a}, p\ is\ odd\ prime\\ &1&otherwise\end{cases} $$ 注：推理中容易犯的错误是，尽管一个缩系的乘积模某个分量的结果可能是-1，但是在最终得数中含有的分量缩系可能不止一个。 =====中国剩余定理===== 很简单，不同素因子幂乘起来，对应于缩系乘法群的笛卡尔积。因此缩系乘法群的总体构成一个空间，各个素因子的缩系乘法群互不相干，分别构成相应的维度。 当已知这个数在各个维度的坐标，想求这个数的时候，利用线性代数的知识，先求各个维度上的单位向量，然后向量点乘即可。 单位向量的求法，就是一次不定方程。 =====缩系乘法群的结构===== 有个经典事实：群的结构与这个素数是不是2有关，当素数是2的时候群的结构会更加复杂。 ====模为奇素数幂==== 构成循环群。生成元叫做原根。 不止这类模有原根，事实上1、2、4、奇素数的幂、2倍奇素数的幂都有，也就是说这些缩系乘法群也是循环群，而其余的模都没有。 ====模为2的幂==== 当为1、2、4的时候，仍旧是循环群。 当大于等于8的时候，变为一个循环群（元素数为这个数除以4）与{-1,1}乘法群的笛卡尔积。 著名的Klein四元群与模8的缩系乘法群同构。 =====离散对数===== ====写在前面==== 这是一个天坑。关于离散对数的算法数不胜数，甚至是一个P与NP问题。如果未来的您能找到一个多项式时间求解离散对数问题的算法，那么今天的加密算法将半数失效，您不仅可以凭借这个算法轻松拿到图灵奖和菲尔兹奖，甚至可以改写世界历史。当然，如果您证明了不存在多项式时间的求解离散对数问题算法，相当于找到了P与NP问题的有效反例，照样可以拿到图灵奖和菲尔兹奖，只是无法改写历史的进程了而已。 由于本页面不打算涉及算法，那么这部分的算法计划将于暑假再开一个页面（这是因为烤漆实在没时间）。这里仅谈谈离散对数是怎么来的。 ====定义==== 离散对数，就来源于循环群。我们知道，原根是缩系乘法群的生成元，那么每个元素是原根的多少次幂呢？ 求解幂次，就是标准的对数运算。 我们知道，在复变函数里，指数函数是以$2\pi i$为周期的，也就是说： $$\ln re^{i\theta}=\ln r+i\theta +2k\pi i\quad r>0 \quad k\in Z$$ 这是因为，e乘上$2\pi i$就回到了乘法单位元1，和Fermat-Euler定理有着异曲同工之妙。 模n下，对于原根g，如果g的t次方等于a，那么有： $$\mod n\quad\log_g a=t+k\varphi(n) \quad k\in Z$$ t只是对数的**主值**，即一个代表，一般取0到$\varphi(n)$（左闭右开）之间，以$\varphi(n)$为周期。 **注意：这里的周期已经不是模数n，而是n的缩系元素个数，所以模n记号仅表示模n意义下（大范围），并不是这个式子本身的模。** 为避免混淆，这里**特地记作等号，不是三横线**，并将模n记号改写在了左边。 例如模13的生成元是2，那么有表格： | n mod 13| 1 | 2 | 4 | 8 | 3 | 6 | 12 | 11 | 9 | 5 | 10 | 7 | |$\mod 13\quad \log_2 n$| 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | ====换底公式==== 更加神奇的是，如果引入取模下对数这个设定，那么换底公式是成立的，只要底一直是原根，并且除法的意义变为模$\varphi(n)$意义下。 $$\mod n\quad\frac{\log_{g_0}⁡a}{\log_{g_0}g_1}=\log_{g_1}⁡a$$ ====适用范围==== 因为离散对数要求是循环群，需要有原根（生成元），所以适用范围是1、2、4、p^a、2p^a（p为奇素数）。 像是模2的幂（至少为8），一般对数不能直接引入，因为缩系乘法群是一个循环群与{-1,1}乘法群的笛卡尔积，不是循环群。但是也有办法： {-1,1}乘法群方向坐标分量：如果a为4k+1形式的数，该方向分量为1；如果a为4k+3形式的数，该方向分量是-1。 因此，对于模2的幂（至少为8）缩系乘法群，只取它的一半，即留下4k+1形式的一半，则构成循环群，可以引入离散对数。此时始终有固定的生成元为5。那么所有4k+1形式的整数都可以求出以5为底的对数。由于底数都给定了，这个对数的求解甚至都可能写出固定的公式，所以不可能用于加密。 另一半4k+3形式的数怎么办？由于大背景是模2的幂（至少为8），每一个4k+3形式的数都是4k+1形式的数乘一个-1。根据对数将乘法变为加法，问题转化为如何定义： $$\mod 2^c\quad\log_5 (-1)\quad c>2$$ 那么这个东西就很玄妙了。如果希望这个新的离散对数具有两个维度的周期，我们可以借助复数来解决这个问题。而与此同时，我们仍旧希望换底公式是成立的。经过尝试，强行将此式定义为： $$\mod 2^c\quad\log_5 (-1)=2^{c-3}i\quad c>3$$ （当c为3，即模数为8的时候，定义为1+i——当然这实在没什么用，因为它同构于Klein四元群，习惯采用别的处理方法） 例如模16，有4个“生成元”（只能跑遍半个缩系）3、5、11、13，可以列表验证换底公式（验算不妨将除法改为计算乘法）仍然成立： | n mod 16| 1 | 9 | 5 | 13 | 3 | 11 | 7 | 5 | |$\mod 16\quad \log_3 n$| 0 | 2 | 3+2i | 1+2i | 1 | 3 | 2+2i | 2i | |$\mod 16\quad \log_{11} n$| 0 | 2 | 1+2i | 3+2i | 3 | 1 | 2+2i | 2i | |$\mod 16\quad \log_5 n$| 0 | 2 | 1 | 3 | 3+2i | 1+2i | 2+2i | 2i | |$\mod 16\quad \log_{13} n$| 0 | 2 | 3 | 1 | 1+2i | 3+2i | 2+2i | 2i | 利用复平面上两个维度同时取模（取模构成矩形）意义下的除法，换底公式仍旧成立。虽然完备，只是这么定义没什么实际用途罢了。 ====计算模2的幂以5为底给定元素的对数==== 这里给一个算法，计算模2的t次幂缩系中一个元素a以5为底的对数。要求a必须为4k+1形式，因为5的幂在这个缩系乘法群中只能跑遍一半。 （如果a是4k+3形式，就计算-a） 首先，类似于快速幂的思想，先计算5、5^2、5^4……在模2的t次幂意义下的值，总共有t-3个，因为： $$5^{2^{t-2}}\equiv 1\mod 2^t$$ 有规律：5是4k+1形式，5^2是8k+1形式，5^4是16k+1形式……。 在模2的幂缩系中，4k+1形式的数以5为底的对数是奇数，8k+1形式的数以5为底的对数恰好被2整除（不被4整除），16k+1形式以5为底的对数恰好被4整除。 因此，对数计算算法设计非常简单： 第一步：计算a-1在二进制下末尾含多少个0，假设含h个。由于a是4k+1形式，h至少为2。这意味着a以5为底的对数恰好被$2^{h-2}$整除。 第二步：因为取模下除法（数论倒数）不好计算，因此改算取模乘法。用a乘上$5^{2^{h-2}}$得到b，那么b-1当中2的幂次一定比a-1要高。 第三步：如果新的b为1，则跳出循环，否则用b代替a回到第一步重新执行。 循环中记录下每一个h-2，这些h-2是单调递增的。 循环结束后，我们得到一个二进制数：在每个得到的h-2处为1，其它处为0。因为我们使用了乘法而不是除法，最后用$2^{t-2}$减去得到的二进制数，就得到了所求的对数。 =====Euler判别法===== Euler判别法是对于计算机而言最简单的判断一个数a是不是模素数p的n次剩余的办法。 对于人而言就太难了。人一般采用互反律等等的办法笔算。 我们熟知模p的缩系乘法群是循环群，那么下面的结论就显然了。 首先，如果p-1和n互素，那么a一定是n次剩余。因为这个时候n次方在p的缩系中是一个置换。 如果n是p-1的倍数，显然缩系中只有1是n次剩余（p-1次剩余）。 那么，如果p-1和n不互素，就可以将n替换为(n,p-1)。这个数一定是p-1的约数，只需要看a是不是(n,p-1)次剩余即可。 于是，计算这个式子的值： $$a^{\frac{p-1}{(n,p-1)}}$$ 如果这个式子的值为1，说明a是n次剩余，否则就不是n次剩余。这就是欧拉判别法，一般用快速幂算法计算。 另外，对于二次非剩余，这个式子的值一定是-1。其他的非剩余则不确定。 =====原根的判定===== 既然已经知道模p的缩系乘法群是循环群，那么就有很明显的推论： 判断g是模素数p原根，则要求对于任意一个n，只要n与p-1不互素，g就不是n次剩余。 这显然是一个等价命题。意思就是说，原根和剩余几乎是互斥的概念，原根如果是剩余，只有可能这个次数构成一一对应，即上文的互素。 事实上，对于p-1的每一个因数d，只要判断g是不是d次剩余就够了。这个因数甚至可以改进为素因数q。即要求p-1的每一个素因数q： $$g^{\frac{p-1}{q}}$$ 这个式子都不是1，则g是原根。 模p-1的原根总共有$\varphi(p-1)$个。在随机枚举g的情况下，显然当p-1的素因数非常少的时候，枚举到原根的概率大，最高能达到50%。但是当p-1的素因数很多的时候，枚举到的概率就非常小了。这个概率甚至可以任意趋近于0。总之无论什么情况，都需要枚举多次。 =====BSGS离散对数算法===== BSGS（Baby Step Giant Step），即大步小步算法，常用于求解离散对数问题。该算法可以在根号p的时间内求解模p意义下的$\log_a b$。 当然，如果a是原根，一定有解。否则不一定有解。 由于群的阶是p-1，设待求的对数为： $$\log_a b=A\left\lceil\sqrt{p-1}\right\rceil-B$$ 于是A和B都不超过$\sqrt{p-1}$。变形一下就有： $$a^{A\left\lceil\sqrt{p-1}\right\rceil}\equiv ba^B \mod p$$ 分别存储等式的两边，用map存储其中一边的结果，枚举另一边时查找即可。 因为时间复杂度是根号量级，在大素数情形很高，而反过来的快速幂却是对数量级，是复杂度低的算法，事实上也说明求对数是个世界级难题，至今还没有得到解决。