======多项式exp======

OIWiki上，多项式全家桶里面有多项式exp。

=====exp=====

在多项式exp当中，调用了polyln。

<hidden>
<code C++>

long long exp_t[20005];

void polyexp(long long h[],const int n,long long f[])
{
	memset(exp_t,0,sizeof(exp_t));
	std::fill(f,f+n+n,0);
	f[0]=1;
	int t; 
	for(t=2;t<=n;t<<=1)
	{
		const int t2=t<<1;
		polyln(f,t,exp_t);
		exp_t[0]=(h[0]+1-exp_t[0]+MOD)%MOD;
		long long i;
		for(i=1;i!=t;++i)
		{
			exp_t[i]=(h[i]-exp_t[i]+MOD)%MOD;
		}
		std::fill(exp_t+t,exp_t+t2,0);
		NTT(f,t2,1);
		NTT(exp_t,t2,1);
		for(i=0;i!=t2;++i)
		{
			f[i]=f[i]*exp_t[i]%MOD;
		}
		NTT(f,t2,-1);
		std::fill(f+t,f+t2,0);
	}
}

</code>
</hidden>

=====ln=====

在多项式ln当中，调用了polyinv，derivative和integrate。

<hidden>
<code C++>

long long ln_t[20005];

void polyln(long long h[],const int n,long long f[])
{
	memset(ln_t,0,sizeof(ln_t));
	const int t=n<<1;
	derivative(h,n,ln_t);
	std::fill(ln_t+n,ln_t+t,0);
	polyinv(h,n,f);
	NTT(ln_t,t,1);
	NTT(f,t,1);
	long long i;
	for(i=0;i!=t;++i)
	{
		ln_t[i]=ln_t[i]*f[i]%MOD;
	}
	NTT(ln_t,t,-1);
	integrate(ln_t,n,f);
}

</code>
</hidden>

=====逆=====

多项式求逆什么都不需要调用。

<hidden>
<code C++>

long long inv_t[20005];

void polyinv(long long h[],const int n,long long f[])
{
	memset(inv_t,0,sizeof(inv_t));
	std::fill(f,f+n+n,0);
	f[0]=QPow(h[0],MOD-2);
	int t;
	for(t=2;t<=n;t<<=1)
	{
		const int t2=t<<1;
		std::copy(h,h+t,inv_t);
		std::fill(inv_t+t,inv_t+t2,0);
		NTT(f,t2,1);
		NTT(inv_t,t2,1);
		long long i;
		for(i=0;i!=t2;++i)
		{
			f[i]=f[i]*((2LL-(f[i]*inv_t[i])%MOD+MOD)%MOD)%MOD;
		}
		NTT(f,t2,-1);
		std::fill(f+t,f+t2,0);
	}
}

</code>
</hidden>

=====求导和积分=====

在积分中，需要提前把逆元都求出来。这里建议是通过阶乘的方法比较方便。

<hidden>
<code C++>

void derivative(long long h[],const int n,long long f[])
{
	long long i;
	for(i=1;i!=n;++i)
	{
		f[i-1]=(h[i]*i)%MOD;
	}
	f[n-1]=0;
}

void integrate(long long h[],const int n,long long f[])
{
	long long i;
	for(i=n-1;i;--i)
	{
		f[i]=(h[i-1]*((FEG[i]*GAM[i-1])%MOD))%MOD;
	}
	f[0]=0;
}

</code>
</hidden>

=====NTT=====

使用这个NTT板子，传入长度必须是2的幂，建议为2048。

<hidden>
<code C++>

long long rev[20005];

void NTT(long long A[],long long n,int inv)//数组A，长度n，逆变换（共轭）符号inv
{
	int bit=0;
    while((1<<bit)<n)
	{
		bit++;//根据数组长度n，确定单位根次数
	} 
	long long i; 
	for(i=0;i<n;i++)//初始化。rev数组存储位逆序置换
    {
        rev[i]=(rev[i>>1]>>1)|((i&1)<<(bit-1));
		if(i<rev[i])
		{
			long long temp=A[i];
			A[i]=A[rev[i]];
			A[rev[i]]=temp;
		}
	}
	long long mid,j;
	for(mid=1;mid<n;mid<<=1)//mid是准备合并序列的长度的二分之一
	{
		long long now=mid<<1;//now是准备合并序列的长度 
		long long wn=QPow(ROOT,(MOD-1)/now);//单位根 
		if(inv==-1)
		{
			wn=QPow(wn,MOD-2);//逆变换时逆元
		}
		for(i=0;i<n;i+=now)//i是合并到了哪一位
		{
			long long w=1;
			for(j=0;j<mid;j++,w=1ll*w*wn%MOD)//蝴蝶变换
			{
				long long x=A[i+j];
				long long y=1ll*w*A[i+j+mid]%MOD;
				A[i+j]=(x+y)%MOD;
				A[i+j+mid]=(x-y+MOD)%MOD;
			}
		}
	}
	if(inv==-1)
	{ 
		long long p=QPow(n,MOD-2);
        for(i=0;i<n;i++)
        { 
            A[i]=1LL*A[i]*p%MOD;
        } 
    }
}

</code>
</hidden>

=====阶乘初始化=====

其实用这个也可以很方便的大量计算逆元。

<hidden>
<code C++>

long long GAM[20010];
long long FEG[20010];

void init()
{
	GAM[0]=1;
	long long i;
	for(i=1;i<20005;i++)
	{
		GAM[i]=(GAM[i-1]*i)%MOD;
	}
	FEG[20004]=QPow(GAM[20004],MOD-2);
	for(i=20003;i>=0;i--)
	{
		FEG[i]=(FEG[i+1]*(i+1))%MOD;
	}
}

</code>
</hidden>

=====快速幂=====

是基础。这里的ROOT是原根（生成元），在NTT中用到。

<hidden>
<code C++>

const long long MOD=998244353;
const long long ROOT=3;

long long QPow(long long bas,long long t)
{
    long long ret=1;
    for(;t;t>>=1,bas=(bas*bas)%MOD)
    {
        if(t&1LL)
        {
            ret=(ret*bas)%MOD;
        }
    }
    return ret;
}

</code>
</hidden>

=====例题=====

校赛某道题。比赛结束之后更新。