===== 后缀自动机 ===== 后缀自动机（suffix-automaton, SAM）用一种高压缩的方式存储了文本串的所有子串信息，其中最重要的信息是**状态结点**，**转移**和**后缀连接**。下图表示字符串''%%banana%%''的后缀自动机，其中红色虚线代表后缀连接。

关于后缀自动机的一些性质可以从上面的实例中得以体现： * 每条从 S 开始到任意结点结束的路径都构成了文本串的一个子串，所有从 S 开始的路径构成了文本串的所有子串集。 * 每条从 S 开始到终点结点（图中蓝色结点）的路径构成了文本串的一个后缀，同样的，所有这种路径构成了文本串的所有后缀集。 * 每个结点代表了唯一的一种 **endpos等价类**，其意义是：该结点包含的所有子串（也即从 S 开始到该结点的路径组成的所有子串）在原文本串中有相同的**结束位置集**。比如图中对于 8 号结点，endpos(“an”) = endpos(“n”) = {3,5}。 * 每个结点包含的子串构成了一个连续的长度区间。我们令 maxlen(u) 表示结点 u 的子串中最长的长度，longest(u) 表示最长的子串，则 u 中所有的子串都是 longest(u) 的后缀。 * **后缀连接**的意义如下：结点 u 的后缀连接为不在 u 中的 longest(u) 的最长的后缀所在的结点。也就是说设 minlen(u) 为结点 u 的子串中最短的长度，那么 longest(u) 的长度为 minlen(u)-1 的后缀就不在 u 中了，假设在 v 中，那么 u 的后缀连接 link[u]=v 。显然有 **minlen(u) = maxlen(link[u]) +1** （这个非常重要）。 * 沿着一个结点 u 的后缀路径遍历所有该路径上的结点，可以遍历到 longest(u) 的所有后缀。 * 沿着最后一个建立的结点的后缀路径遍历所有该路径上的结点，可以得到所有的终点结点。
接下来说一下后缀自动机的构造方法。假设当前已经构造好了 S[1…n] 的后缀自动机，当我们新增添 c=S[n+1] 的时候，需要考虑 n+1 个新的后缀。设上一次新增字符增添的结点为 last，这次肯定要新增加一个新的结点 cur，否则字符串 S[1…n+1] 就无法表示。令 p 沿着 last 的后缀路径遍历，如果 trans[p][c]（转移）不存在，那么令 trans[p][c]=cur，否则跳出。如果一直到 S 仍然转移不存在，最后令 link[cur]=S，否则假设第一个存在 trans[p][c] 的结点是 u，trans[u][c]=v，就要分两种情况讨论了： - 如果 maxlen(u) + 1 = maxlen(v)，说明 v 中所有子串都是 S[1…n+1] 的后缀，故直接令 link[cur] = v； - 否则，新增添一个结点 clone，令 trans[clone] = trans[v]，然后把从 u 开始的后缀路径上所有 trans[p][c] == v 的转移都改成 trans[p][c] = clone（保证 clone 的所有子串都是 S[1…n+1] 的后缀），clone 继承 v 的后缀连接，link[v] = link[cur] =clone。构造代码如下（构造仅仅是 extend 那一部分，**所有数组从1开始**）：


// 1号是S结点
const int maxn=1e6+5;
struct suffix_automaton
{
    int maxlen[maxn<<1],trans[maxn<<1][26],link[maxn<<1],tot=1,last=1;
    int endnum[maxn<<1],c[maxn<<1],a[maxn<<1];
    int e[maxn<<1];

    void extend(int c)
    {
        int cur=++tot,p; endnum[cur]=1;
        maxlen[cur]=maxlen[last]+1;
        for(p=last;p && !trans[p][c];p=link[p]) trans[p][c]=cur;
        if(!p) link[cur]=1;
        else
        {
            int q=trans[p][c];
            if(maxlen[q]==maxlen[p]+1) link[cur]=q;
            else
            {
                int clone=++tot;
                maxlen[clone]=maxlen[p]+1;
                memcpy(trans[clone],trans[q],sizeof(trans[q]));
                for(;p && trans[p][c]==q;p=link[p]) trans[p][c]=clone;
                link[clone]=link[q];
                link[q]=link[cur]=clone;
            }
        }
        last=cur;
    }

    void get_endpos_num()   // count the end-position number of every node(state)
    {
        REP(i,1,tot) c[maxlen[i]]++;
        REP(i,1,tot) c[i]+=c[i-1];
        REP(i,1,tot) a[c[maxlen[i]]--]=i;
        REP_(i,tot,1) endnum[link[a[i]]]+=endnum[a[i]];
    }

    void get_end()  // get the end node(state)
    {
        for(int i=last;i!=1;i=link[i]) e[i]=1;
    }

    void build(char *s,char minc)
    {
        for(int i=0;s[i];i++) extend(s[i]-minc);
        get_endpos_num();
        //get_end();
    }
};

后缀自动机的时间复杂度和空间复杂度都是 O(n) 。
关于后缀自动机的一些**常见应用**： * 完美取代AC自动机，多模式匹配问题直接对文本串建后缀自动机，然后每个模式串从S开始跑一遍就知道是不是子串以及出现次数了。 * 子串出现次数。我们需要计算每个结点对应结束位置的个数 endnum，每一个长的子串出现时，都对其更短的后缀有贡献，故（一定要忽略clone的结点）对每次新建结点出现次数赋值为1，然后在后缀连接图上拓扑序累加即可，或者可以按照每个结点的 maxlen 排个序，然后从大到小累加也可（可以说明这样子满足拓扑序）。 * 本质不同子串个数 = $\sum_{i=2}^{tot}(maxlen[i]-maxlen[link[i]])$ 。
**一些题目**： * [[https://www.spoj.com/problems/LCS/|最长公共子串]]：（先给其中一个子串建sam，然后另一个在上面跑，不匹配的时候跳link）（[[https://pastebin.com/0Kxs5jWa|我的代码]]） * [[http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=6583|hdu6583 Typewriter]]：（dp+sam，设f[i]为打印到第 i 个字符的最少花费，则 f[i]=min{f[i-1]+p, f[j]+q}，其中 j 是最小的下标，使得子串 s[j+1,…,i] 是 s[1,…,j] 的子串，可以发现 j 随着 i 的增加而增加，所以用sam维护s[1,…,j]的信息，每次增加 i 的时候保证 s[j+1,…,i] 是 s[1,…,j] 的子串）（[[https://pastebin.com/U06SepPk|我的代码]]）

===== 广义后缀自动机 ===== 就是可以处理多个字符串后缀信息的后缀自动机，据说是一种Trie+SAM的结构，但是以下的做法一般来说也没什么问题： * 建立一个SAM，每次插入一个字符串之后把last置为1 **一些例题**： * [[https://www.luogu.com.cn/problem/P6139|洛谷广义后缀自动机]]：（这道题以上做法确实没问题）（[[https://pastebin.com/sNaU5wap|我的代码]]）