给定$N(N<2^{31}$)，求1到N的欧拉函数和莫比乌斯函数之和

对函数$f(n),g(n)$，定义$(f*g)(n)=\sum_{d\mid n}f(d)g(\frac{n}{d})$为f与g的狄利克雷卷积

$\sum_{i=1}^n(f*g)(i)=\sum_{i=1}^n\sum_{d\mid i}f(d)g(\frac{i}{d})=\sum_{d=1}^n f(d)\sum_{i=1}^{\lfloor \frac{n}{d}\rfloor}g(i)=\sum_{d=1}^nf(d)S(\lfloor \frac{n}{d}\rfloor)$，其中$S(n)=\sum_{i=1}^n g(i)$

设$f(n)=1,g(n)=\phi (n)$，则有$(f*g)(n)=n$

设$f(n)=1,g(n)=\mu (n)$，则有$(f*g)(n)=[n=1]$

由引理1得，$f(1)S(n)=\sum_{i=1}^n(f*g)(i)-\sum_{d=2}^nf(d)S(\lfloor \frac{n}{d}\rfloor)$

分别将$f(n)=1,g(n)=\phi (n)$和$f(n)=1,g(n)=\mu (n)$带入，得

$S(n)=\frac{n^2+n}{2}-\sum_{d=2}^nS(\lfloor \frac{n}{d}\rfloor)$，其中$S(n)=\sum_{i=1}^n \phi (i)$

$T(n)=1-\sum_{d=2}^nT(\lfloor \frac{n}{d}\rfloor)$，其中$T(n)=\sum_{i=1}^n \mu (i)$

先线性求出$10^7$以内的$S(n),T(n)$，对于大于$10^7$的$S(n),T(n)$，可通过数论分块递归计算出。

可以证明，杜教筛的时间复杂度为$O(n^{\frac{3}{4}})$

这个问题的核心，是对于所求的$g(n)$，需要找到一个合适的$f(n)$，使得$\sum_{i=1}^n(f*g)(i)$能被快速计算出。

可以尝试计算$\sum_{i=1}^n i\phi (i)$。提示：设$f(n)=n$。$(f*g)(n)=n^2$

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<map>
#define N 7000001
#define LL long long
using namespace std;
 
LL T,n,phi[N],mo[N],p[N>>3];
map<LL,LL>sphi,smo;
void initial()
{
	mo[1]=1; phi[1]=1;
	for(int i=2;i<N;i++)
	{
		if(!phi[i]) 
		{
			mo[i]=-1;
			phi[i]=i-1;
			p[++p[0]]=i;
		}
		for(int j=1;;j++)
		{
			LL t=i*p[j];
			if(t>=N) break;
			if(i%p[j]==0)
			{
				mo[t]=0;
				phi[t]=phi[i]*p[j];
				break;
			}
			mo[t]=-mo[i];
			phi[t]=phi[i]*(p[j]-1);
		}
	}
	for(int i=2;i<N;i++)
	{
		mo[i]+=mo[i-1];
		phi[i]+=phi[i-1];
	}
}
LL getphi(LL x)
{
	if(x<N) return phi[x];
	if(sphi[x]) return sphi[x];
	LL res=x*(x+1)>>1;
	for(LL l=2,r;l<=x;l=r+1)
	{
		r=x/(x/l);
		res-=(r-l+1)*getphi(x/l);
	}
	sphi[x]=res;
	return res;
}
LL getmo(LL x)
{
	if(x<N) return mo[x];
	if(smo[x]) return smo[x];
	LL res=1;
	for(LL l=2,r;l<=x;l=r+1)
	{
		r=x/(x/l);
		res-=(r-l+1)*getmo(x/l);
	}
	smo[x]=res;
	return res;
}
int main()
{
	initial();
	scanf("%lld",&T);
	while(T--)
	{
		scanf("%lld",&n);
		printf("%lld ",getphi(n));
		printf("%lld\n",getmo(n));
	}
	return 0;
}