2020.08.01-2020.08.07 周报

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2020.07.31 yukicoder contest 259

2020.08.02 AtCoder Beginner Contest 174

2020.08.07 Prufer 序列

2020.08.07 生成函数

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2020.08.02 AtCoder Beginner Contest 174

2020.08.07 Codeforces Global Round 5

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s1.swap(s2)

yukicoder contest 259 E - 面積Nの三角形

• 题意：给定 $n \leq 10^6$，求有多少个边长是整数且均大于 $1$ 的三角形面积为 $n$。
• 题解：考虑海伦公式 $S = \sqrt {p (p-a)(p-b)(p-c)}$，其中 $p = \dfrac {a + b + c}2$。做代换 $\begin{cases} x = p-a \\ y = p-b \\ z = p-c \\ p = x + y + z \\ \end{cases}$，有 $S^2 = xyz(x + y + z)$，且显然 $(x, y, z)$ 与 $(a, b, c)$ 一一对应。注意到 $n$ 的因数是 $O(n^{1/3})$ 级别的，因此可以暴力枚举 $x, y \mid n^2$，解一个二次方程可以得到 $z$，验证结果是否满足三角形三边关系即可。
• 备注：通过换元得到一个较好的关系式，进而解决问题。如果一开始就考虑用三角函数去表示面积的话，后面基本就没法做了。这个代换法称为 Ravi 变换，更多应用 见此。

CF903G

• 题意：给两条链 $A,B$ ，$A_i$ 到 $A_{i+1}$ 和 $B_i$ 到 $B_{i+1}$ 有流量。$A$ 到 $B$ 有一些连边。可以修改 $A$ 中某些边的流量，$q$ 组询问 $A_1$ 到 $B_n$ 的最大流。 $n,q\le 2\times 10^5$
• 题解：考虑最小割，我们在 $A$ 和 $B$ 中最多割掉一条边，以及一些 $A,B$ 之间的连边。假设在 $A,B$ 中割的边为 $i,j$ ，可以枚举 $i$ ，用线段树维护出对应 $j$ 的最小割。而修改时，每个 $i$ 对应的割边已经确定，只需要在线段树上点修改维护最小值即可。
• 备注：非常妙的图的性质配合线段树维护。

CF827E Rusty String

• 题意：给一个 ‘a’ ‘b’ ’?‘ 三种字符组成的串，’?‘ 代表可以选取 ’a‘ ’b‘ 任意一种字符。求所有可能的循环节长度，循环节在字符串结尾可以被截断。
• 题解：设 $x$ 为循环节，暂时把 '?' 作为通配符处理，分别处理 'a' 'b'，则设 $f(x)=[s_x='a'], g(x)=[s_x='b']$ ，$h(x)=\sum_{i=x}^{n-1}f(i)g(i-x)$ ，$x$ 不是循环节当且仅当 $h(x)\neq 0$。考虑 '?' 不是通配符，于是充要条件变成充分条件。观察到当 $p$ 是合法循环节时 $kp$ 也必然是合法循环节，且如果全部 $kp$ 都是合法循环节，那么 $p$ 也必然是合法循环节。枚举一下筛掉不合法的即可。
• 备注：对于循环节倍数性质的观察很重要。