2020.08.08-2020.08.14 周报

2020.08.11

1. 团队训练底线是一周一次保持手感，具体安排下次会议后分配。
2. 由于所有人的最早空闲时间是 $\max\{-\infty, 16, 20\}$ 号，因此这周先不安排训练了，然后下周两场团队训练。

本周作为机动周，主要目标是补题。

2020.08.07 yukicoder contest 260 (Typical Game Contest)

比较有做的价值的专题场，全都是玩游戏。部分个人觉得有价值的题目解析见此。

2020.08.09 AtCoder Grand Contest 047

2020.08.12 Codeforces Round #664 (Div. 1)

考虑一些路径覆盖问题，如果可以转化为“一开始有很多路径，每合并一个节点上的两个路径可以优化答案”的形式，那么可以按节点考虑合并，可能会有想不到的效果。

• 例子 1（2020牛客暑期多校训练营（第十场）C - Decrement on the Tree）：给一棵有正边权的树，每次可以选一条路径整体权值 $-1$，用最小代价让边权全为 $0$。可以令初始答案为每个边覆盖 $w$ 条边，考虑节点上的合并减小答案。

• 例子 2（CF 1394D - Boboniu and Jianghu）：给一个点有权值和高度的树，定义好的路径是一条路上节点权值非降的路，选一些路径覆盖所有边，最小化每条路径上的点权和之和。做法是让一开始所有边都是单独的一条路径，然后每个节点内再尝试自己合并。当然合并过程是用到了 DP，但是这个思想是相同的。

点乘和叉乘对于加法都满足分配律。

无

2020.08.09 AtCoder Grand Contest 047

2020.08.12 Codeforces Round #664 (Div. 1)

无

SOS DP 复习

无

正如 Special Pairs 解法中的处理方法一样，当直接处理 $a_i \text{&} a_j=0$ 的按位不易处理时，可考虑 $a_j$ 必为 $\text{~}a_i$ 的子集，这样就可以转化成 SOSDP 进行处理了。

AGC 047 C - Product Modulo

• 题意：已知 $P = 200\ 003$ 是质数。给 $n \leq 2 \times 10^5$ 的数列 $a_1, a_2, \ldots, a_n$，值域在 $[0, P)$，求 $\sum _{i=1}^n \sum _{j = i+1}^n (a_i \cdot a_j \bmod P)$。注意结果不需要对 $P$ 取模。

• 题解：如果存在一种卷积操作使得 $[x^n]H(x) = \sum _{i \cdot j = n} [x^i]F(x) \cdot [x^j]G(x)$，那么上面的问题就可以把每个数出现次数的多项式直接卷积做了。可以发现对数性质满足 $\log a + \log b = \log ab$，如果能将指数部分先映射到对数，普通卷积完再还原回来，那么就能实现上述卷积。

• 经过测试发现 $2$ 是 $P$ 的一个原根，因此可以用 $\log_2(x)$ 进行映射。由于是指数上的运算，原根的循环节是 $\varphi(P) = P - 1$ 而不是 $P$，故做完多项式之后指数超出 $P - 1$ 的部分应当模一下 $P - 1$。

• 系数并不是很大，直接 FFT 精度也是足够的。

• 备注：利用原根性质操作的妙妙题，即使赛场上想出来了也还是觉得很妙。

2020 Multi-University Training Contest 8 D - Discover of Cycles

• 题意：给你一个 $3 \times 10^5$ 点边的无向图，$3 \times 10^5$ 次询问由 $[l, r]$ 编号的边构成的图中是否有环，强制在线。

• 题解：对每个左端点 $l$ 找最大右端点 $r$，使得 $[l, r]$ 边构成的图无环。可以注意到 $r$ 是单调不减的，因此用 LCT 维护 $[l, r]$ 构成的森林，每次移动 $r$ 就是查询连通性或加边，移动 $r$ 就是删边。

• 备注：如果一直想着如何维护区间内的环会越想越复杂，那么只要维护的东西结构比较简单就行了。类似的思想还有 CF 1394B，如果只考虑如何维护强连通分量，就会难以发现整个图实际是很多小环的性质。

Yukicoder P1145 - Sum of Powers

• 题意：给定 $a_1, a_2, \ldots, a_n$，对 $K = 1, 2, \ldots, n$ 求 $\sum _{i=1}^n a_i^K$ 模 $998\ 244\ 353$。
• 题解：注意到 $\sum _{i=1}^n a_i^K = [x^K]\sum _{i=1}^n (1 + a_i x + a_i^2 x^2+ \cdots) = [x^K]\sum _{i=1}^n \dfrac 1{1 - a_ix}$，然后后面的东西在二分树上 FFT 合并分子分母即可。
• 备注：看上去不像卷积的东西也可能用到多项式。

CF 1144G

• 题意：给一个长度为 $n$ 的序列，问能否分成两个子序列，一个递增一个递减，$n,a_i\le 2\times 10^5$
• 题解：设 $dp_{i,0}$ 表示到 $i$ 递增序列的末尾值，$dp_{i,1}$ 表示到 $i$ 递减序列的末尾值。转移是比较容易的。
• 备注：算是经典以及常见的一种 dp 状态设计，但是第一次见到还是很难想到。

CF1329D Dreamoon Likes Strings

• 题意：给一个字符串 $s(|s|\le 2e5)$，每次操作可以删除一段连续的、没有相邻两项相等的子串，求变为空串最少操作次数的方案。

• 题解：由于直接处理比较麻烦，考虑特殊处理连续相同字母进而转化问题。类似差分的过程，将 $s$ 相邻两项相同合并为一个字符，拼接成 $s'$ （如 $abbcccdaa$ 合并为 $bcca$），则对 $s'$ 进行两种操作（删除某个字符或删除相邻两个不同字符）到空后，一次删除操作即可将原串清零。故考虑如何进行这两种操作。

• 这是一个经典问题，考虑字符 $c$，设 $c$ 的出现次数为 $cnt_c$ ，$S=\sum_i cnt_i$，则如果对于某个 $c$， $cnt_c>S-cnt_c$ 可将所有 $c$ 以外的字符与 $c$ 匹配后剩余 $c$ 进行删除；否则任意删除相邻两项直至出现上述情况。

• 备注：对字符串也可以进行这样类似差分的操作。