DFT

作用：把一个多项式 $f(x)$ 转化成点值表示 $\{(x_0,f(x_0)),(x_1,f(x_1)),\ldots,(x_n,f(x_n))\}$ 的形式。

推导过程：

记 $\omega_k^n=e^{\frac{2k\pi}{n}}$

若 $f(x)=\sum_{i=0}^{n-1}a_ix^i$

将 $f(x)$ 按奇偶次拆开 $f(x)=(a_0+a_2x^2+\ldots+a_{n-2}x^{n-2})+x(a_1+a_3x^2+\ldots+a_{n-1}x^{n-2})=f_1(x^2)+xf_2(x^2)$

其中 $f_1(x)=a_0+a_2x+a_4x^4+\ldots+a_{n-2}x^{\frac{n}{2}-1},f2(x)=a_1+a_3x+\ldots+a_{n-1}x^{\frac{n}{2}-1}$

代入 ${\omega}_k^n$ ，得 $f({\omega}_n^k)=f_1({\omega}_n^{2k})+{\omega}_n^kf_2({\omega}_n^{2k})=f_1({\omega}_{\frac{n}{2}}^k)+{\omega}_n^kf_2({\omega}_{\frac{n}{2}}^k)$

同理 $f({\omega}_n^{k+\frac{n}{2}})=f_1({\omega}_{\frac{n}{2}}^k)-{\omega}_n^kf_2({\omega}_{\frac{n}{2}}^k)$

到这里，可以对这个函数进行分治了，时间复杂度 $O(nlogn)$

代码:

#include<complex>
using namespace std;
const double Pi=acos(-1);
void dft(complex<double> *f,int len)
{
  if (len==1)return ;//
  complex<double> *fl=f,*fr=f+len/2;
  for (int k=0;k<len;k++)sav[k]=f[k];
  for (int k=0;k<len/2;k++)
    {fl[k]=sav[k<<1];fr[k]=sav[k<<1|1];}
  dft(fl,len/2);
  dft(fr,len/2);
  complex<double> e(cos(2*Pi/len),sin(2*Pi/len))
  complex<double> i(1,0);
  for (int k=0;k<len/2;k++){
    sav[k]=fl[k]+i*fr[k];//(1)
    sav[k+len/2]=fl[k]-i*fr[k];//(2)
    i=e*i;
  }for (int k=0;k<len;k++)f[k]=sav[k];
}