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三元环计数

算法例题

例题一

洛谷p1989

题意

给定 $n$ 个点和 $m$ 条边的无向图。定义三元环为满足所有点两两之间有连边的三元组数，求图中的三元环数。

题解

将无向图转化为有向图，其中每条边由原图中度数小的点指向度数大的点，当两个点度数相同时由编号小的点指向编号大的点。

由于上述定义指三元环为满足 $(u,v,w)$ 一定满足连边为 $u\to v,u\to w,v\to w$。

考虑枚举 $u$，标记 $u\to w$ 的 $w$ 后枚举 $v$ 然后检查 $v\to w$ 的 $w$ 是否被标记。

时间复杂度为 $O(\sum_{i=1}^m\text{out}_{v_i})$，若原图中 $\text{deg}_{v_i}\le \sqrt m$，则当前图中一定也有 $\text{out}_{v_i}\le \sqrt m$。

若原图中 $\text{deg}_{v_i}\gt \sqrt m$，由于与当前图中 $v_i$ 相邻的点一定满足 $\text{deg}_w\ge \text{deg}_{v_i}\gt \sqrt m$，于是这样的 $w$ 不超过 $\sqrt m$ 个，即也有 $\text{out}_{v_i}\le \sqrt m$。

综上，总时间复杂度为 $O\left(m\sqrt m\right)$。

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const int MAXN=1e5+5,MAXM=2e5+5;
struct Edge{
	int to,next;
}edge[MAXM];
int head[MAXN],edge_cnt;
void Insert(int u,int v){
	edge[++edge_cnt]=Edge{v,head[u]};
	head[u]=edge_cnt;
}
int deg[MAXN],vis[MAXN];
pair<int,int> E[MAXM];
int main()
{
	int n=read_int(),m=read_int();
	_for(i,0,m){
		int u=read_int(),v=read_int();
		deg[u]++,deg[v]++;
		E[i]=make_pair(u,v);
	}
	_for(i,0,m){
		int u=E[i].first,v=E[i].second;
		if(deg[u]<deg[v]||(deg[u]==deg[v]&&u<v))
		Insert(u,v);
		else
		Insert(v,u);
	}
	int ans=0;
	_rep(u,1,n){
		for(int i=head[u];i;i=edge[i].next)
		vis[edge[i].to]=u;
		for(int i=head[u];i;i=edge[i].next){
			int v=edge[i].to;
			for(int j=head[v];j;j=edge[j].next){
				int w=edge[j].to;
				ans+=(vis[w]==u);
			}
		}
	}
	enter(ans);
	return 0;
}

例题二

HDU6184

题意

给定 $n$ 个点和 $m$ 条边的无向图。定义好的四元组 $(A,B,C,D)$ 为满足存在连边 $AB,BC,CD,DA,AC$ 的四元组，求图中好的四元组数。

题解

统计每条边出现在三元组中的次数 $c_i$，最终答案为 $\sum_{i=1}^n {c_i\choose 2}$

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const int MAXN=1e5+5,MAXM=2e5+5;
struct Edge{
	int to,next,c;
}edge[MAXM];
int head[MAXN],edge_cnt;
void Insert(int u,int v){
	edge[++edge_cnt]=Edge{v,head[u],0};
	head[u]=edge_cnt;
}
int deg[MAXN],vis[MAXN],in[MAXN];
pair<int,int> E[MAXM];
int main()
{
	int n,m;
	while(cin>>n>>m){
		_rep(i,1,n)head[i]=deg[i]=vis[i]=in[i]=0;
		edge_cnt=0;
		_for(i,0,m){
			int u=read_int(),v=read_int();
			deg[u]++,deg[v]++;
			E[i]=make_pair(u,v);
		}
		_for(i,0,m){
			int u=E[i].first,v=E[i].second;
			if(deg[u]<deg[v]||(deg[u]==deg[v]&&u<v))
			Insert(u,v);
			else
			Insert(v,u);
		}
		_rep(u,1,n){
			for(int i=head[u];i;i=edge[i].next){
				int w=edge[i].to;
				vis[w]=u,in[w]=i;
			}
			for(int i=head[u];i;i=edge[i].next){
				int v=edge[i].to;
				for(int j=head[v];j;j=edge[j].next){
					int w=edge[j].to;
					if(vis[w]==u)
					edge[i].c++,edge[j].c++,edge[in[w]].c++;
				}
			}
		}
		LL ans=0;
		_rep(i,1,m)
		ans+=1LL*edge[i].c*(edge[i].c-1)/2;
		enter(ans);
	}
	return 0;
}