假设我们有一个串 $S$,$S$ 下标从 $0$ 开始,则回文树能做到如下几点:
点击以显示 ⇲
点击以隐藏 ⇱
const int MAXN = 100005 ; const int N = 26 ; struct Palindromic_Tree { //cnt最后count一下之后是那个节点代表的回文串出现的次数 int next[MAXN][N] ;//next指针,next指针和字典树类似,指向的串为当前串两端加上同一个字符构成 int fail[MAXN] ;//fail指针,失配后跳转到fail指针指向的节点 int cnt[MAXN] ; //表示节点i表示的本质不同的串的个数(建树时求出的不是完全的,最后count()函数跑一遍以后才是正确的) int num[MAXN] ; //表示以节点i表示的最长回文串的最右端点为回文串结尾的回文串个数 int len[MAXN] ;//len[i]表示节点i表示的回文串的长度(一个节点表示一个回文串) int S[MAXN] ;//存放添加的字符 int last ;//指向新添加一个字母后所形成的最长回文串表示的节点。 int n ;//表示添加的字符个数。 int p ;//表示添加的节点个数。 int newnode ( int l ) {//新建节点 for ( int i = 0 ; i < N ; ++ i ) next[p][i] = 0 ; cnt[p] = 0 ; num[p] = 0 ; len[p] = l ; return p ++ ; } void init () {//初始化 p = 0 ; newnode ( 0 ) ; newnode ( -1 ) ; last = 0 ; n = 0 ; S[n] = -1 ;//开头放一个字符集中没有的字符,减少特判 fail[0] = 1 ; } int get_fail ( int x ) {//和KMP一样,失配后找一个尽量最长的 while ( S[n - len[x] - 1] != S[n] ) x = fail[x] ; return x ; } void add ( int c ) { c -= 'a' ; S[++ n] = c ; int cur = get_fail ( last ) ;//通过上一个回文串找这个回文串的匹配位置 if ( !next[cur][c] ) {//如果这个回文串没有出现过,说明出现了一个新的本质不同的回文串 int now = newnode ( len[cur] + 2 ) ;//新建节点 fail[now] = next[get_fail ( fail[cur] )][c] ;//和AC自动机一样建立fail指针,以便失配后跳转 next[cur][c] = now ; num[now] = num[fail[now]] + 1 ; } last = next[cur][c] ; cnt[last] ++ ; } void count () { for ( int i = p - 1 ; i >= 0 ; -- i ) cnt[fail[i]] += cnt[i] ; //父亲累加儿子的cnt,因为如果fail[v]=u,则u一定是v的子回文串! } } ;
题意:给定一个字符串 $s$。保证每个字符为小写字母。对于 $s$ 的每个位置,请求出以该位置结尾的回文子串个数。
题解:理解好模板中的 $last$ 和 $num[]$ 的意义即可做。
评价:实现了 功能 4。
代码:
点击以显示 ⇲
点击以隐藏 ⇱
#include<bits/stdc++.h> using namespace std; const int N=5e5+5; struct Palindromic_Tree{ int nxt[N][26],fail[N],cnt[N],num[N],len[N],S[N],last,n,p; int newnode(int l){ memset(nxt[p],0,sizeof(nxt[p])); cnt[p]=num[p]=0; len[p]=l; return p++; } void init(){ p=0; newnode(0); newnode(-1); last=0; n=0; S[n]=-1; fail[0]=1; } int get_fail(int x){ while(S[n-len[x]-1]!=S[n]) x=fail[x]; return x; } void add(int c){ c-='a'; S[++n]=c; int cur=get_fail(last); if(!nxt[cur][c]){ int now=newnode(len[cur]+2); fail[now]=nxt[get_fail(fail[cur])][c]; nxt[cur][c]=now; num[now]=num[fail[now]]+1; } last=nxt[cur][c]; cnt[last]++; } void count(){ for(int i=p-1;i>=0;i--) cnt[fail[i]]+=cnt[i]; } }P; char s[N]; int main(){ scanf("%s",s); int len=strlen(s); P.init(); P.add(s[0]); int k=P.num[P.last]; printf("%d",k); for(int i=1;i<len;i++){ P.add((s[i]-97+k)%26+97); k=P.num[P.last]; printf(" %d",k); } return 0; }
题意:给你一个由小写拉丁字母组成的字符串 $s$。我们定义 $s$ 的一个子串的存在值为这个子串在 $s$ 中出现的次数乘以这个子串的长度。对于给你的这个字符串 $s$,求所有回文子串中的最大存在值。
题解:利用模板中的 $len[]$ 和 $cnt[]$ 即可。
评价:利用了 功能 2。
代码:
点击以显示 ⇲
点击以隐藏 ⇱
#include<bits/stdc++.h> using namespace std; const int N=3e5+5; struct Palindromic_Tree{ int nxt[N][26],fail[N],cnt[N],num[N],len[N],S[N],last,n,p; int newnode(int l){ memset(nxt[p],0,sizeof(nxt[p])); cnt[p]=num[p]=0; len[p]=l; return p++; } void init(){ p=0; newnode(0); newnode(-1); last=0; n=0; S[n]=-1; fail[0]=1; } int get_fail(int x){ while(S[n-len[x]-1]!=S[n]) x=fail[x]; return x; } void add(int c){ c-='a'; S[++n]=c; int cur=get_fail(last); if(!nxt[cur][c]){ int now=newnode(len[cur]+2); fail[now]=nxt[get_fail(fail[cur])][c]; nxt[cur][c]=now; num[now]=num[fail[now]]+1; } last=nxt[cur][c]; cnt[last]++; } void count(){ for(int i=p-1;i>=0;i--) cnt[fail[i]]+=cnt[i]; } }P; char s[N]; int main(){ P.init(); scanf("%s",s); int len=strlen(s); for(int i=0;i<len;i++) P.add(s[i]); P.count(); long long maxx=0; for(int i=0;i<P.p;i++){ maxx=max(maxx,1ll*P.len[i]*P.cnt[i]); } printf("%lld",maxx); return 0; }
题意:连续的一段奇回文串被称作和谐小群体,找出所有和谐小群体并按长度降序排列后,求前 $K$ 个的长度之积并取模。
题解:利用模板的 $cnt[]$ 和 $len[]$ 数组来处理。
代码:
点击以显示 ⇲
点击以隐藏 ⇱
#include<bits/stdc++.h> using namespace std; const int N=1e6+5,mod=19930726; typedef long long ll; ll fastpow(int x,int y){ ll ret=1; for(;y;y>>=1,x=1ll*x*x%mod) if(y&1) ret=1ll*ret*x%mod; return ret; } struct Palindromic_Tree{ int nxt[N][26],fail[N],cnt[N],len[N],S[N],last,n,p; int newnode(int l){ memset(nxt[p],0,sizeof(nxt[p])); cnt[p]=0; len[p]=l; return p++; } void init(){ p=0; newnode(0); newnode(-1); last=0; n=0; S[n]=-1; fail[0]=1; } int get_fail(int x){ while(S[n-len[x]-1]!=S[n]) x=fail[x]; return x; } void add(int c){ c-='a'; S[++n]=c; int cur=get_fail(last); if(!nxt[cur][c]){ int now=newnode(len[cur]+2); fail[now]=nxt[get_fail(fail[cur])][c]; nxt[cur][c]=now; } last=nxt[cur][c]; cnt[last]++; } void count(){ for(int i=p-1;i>=0;i--) cnt[fail[i]]+=cnt[i]; } }P; char s[N]; bool cmp(const pair<int,int>&a,const pair<int,int>&b){ return a.first>b.first; } int main(){ P.init(); ll n,k; scanf("%lld %lld",&n,&k); scanf("%s",s); int len=strlen(s); for(int i=0;i<len;i++) P.add(s[i]); P.count(); ll K=0; vector<pair<int,int>>v; for(int i=0;i<P.p;i++) if(P.len[i]>0&&(P.len[i]&1)) K+=P.cnt[i],v.push_back(make_pair(P.len[i],P.cnt[i])); if(K<k){ printf("-1");return 0; } sort(v.begin(),v.end(),cmp); ll ans=1; for(int i=0;i<v.size();i++){ if(k<=0) break; if(k>=v[i].second){ ans=(ans*1ll*fastpow(v[i].first,v[i].second))%mod; k-=v[i].second; } else{ ans=(ans*1ll*fastpow(v[i].first,k))%mod; break; } } printf("%lld",ans); return 0; }
题意:记字符串 $w$ 的倒置为 $w^R$。如果 $x$ 能够写成 $ww^Rww^R$ 的形式,则称它是一个“双倍回文”。给定字符串,计算它的最长双倍回文子串的长度。
题解:利用好 $trans$ 指针的性质即可。
代码:
点击以显示 ⇲
点击以隐藏 ⇱
#include<bits/stdc++.h> using namespace std; const int N=5e5+5; struct Palindromic_Tree{ int nxt[N][26],fail[N],cnt[N],num[N],len[N],S[N],last,n,p; int trans[N]; int newnode(int l){ memset(nxt[p],0,sizeof(nxt[p])); cnt[p]=num[p]=0; len[p]=l; return p++; } void init(){ p=0; newnode(0); newnode(-1); last=0; n=0; S[n]=-1; fail[0]=1; } int get_fail(int x){ while(S[n-len[x]-1]!=S[n]) x=fail[x]; return x; } void add(int c){ c-='a'; S[++n]=c; int cur=get_fail(last); if(!nxt[cur][c]){ int now=newnode(len[cur]+2); fail[now]=nxt[get_fail(fail[cur])][c]; nxt[cur][c]=now; num[now]=num[fail[now]]+1; if(len[now]<=2) trans[now]=fail[now]; else{ int tmp=trans[cur]; while(S[n-len[tmp]-1]!=S[n]||((len[tmp]+2)<<1)>len[now]) tmp=fail[tmp]; trans[now]=nxt[tmp][c]; } } last=nxt[cur][c]; cnt[last]++; } void count(){ for(int i=p-1;i>=0;i--) cnt[fail[i]]+=cnt[i]; } }P; char s[N]; int len[N]; int main(){ int n; scanf("%d",&n); scanf("%s",s); P.init(); int ans=0; for(int i=0;i<n;i++){ P.add(s[i]); } for(int i=1;i<P.p;i++){ if((P.len[P.trans[i]]<<1)==P.len[i]&&P.len[P.trans[i]]%2==0) ans=max(ans,P.len[i]); } printf("%d",ans); return 0; }
题意:在给定字符串末尾添加尽可能少的字符使其成为回文串。
题解:该等价于求解以原字符串末尾字符结尾的最长回文子串,直接用回文自动机秒杀。
代码:
点击以显示 ⇲
点击以隐藏 ⇱
#include<bits/stdc++.h> using namespace std; const int N=4e5+5; struct Palindromic_Tree{ int nxt[N][26],fail[N],len[N],S[N],last,n,p; int newnode(int l){ memset(nxt[p],0,sizeof(nxt[p])); len[p]=l; return p++; } void init(){ p=0; newnode(0); newnode(-1); last=0; n=0; S[n]=-1; fail[0]=1; } int get_fail(int x){ while(S[n-len[x]-1]!=S[n]) x=fail[x]; return x; } void add(int c){ c-='a'; S[++n]=c; int cur=get_fail(last); if(!nxt[cur][c]){ int now=newnode(len[cur]+2); fail[now]=nxt[get_fail(fail[cur])][c]; nxt[cur][c]=now; } last=nxt[cur][c]; } }P; char s[N]; int main(){ P.init(); int n; scanf("%d",&n); scanf("%s",s); for(int i=0;i<n;i++){ P.add(s[i]); } printf("%d",n-P.len[P.last]); return 0; }