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ZJOI 矩阵游戏(by iuiou)

题意

语言表达能力有限，直接截图放链接：

链接：zjoi矩阵游戏

放这题有什么意义呢

当然是因为实在没啥好放的了，这是非常简单的二分图和网络流建模的问题，适合刚学二分图匹配或者网络流的新手，比如我，初步体会一下建模的艺术。

题解

(建立在已经掌握一些模板算法的基础上。) 这题想让我们干啥呢？给定一个方阵，我们要通过若干次交换行和列使其对角元上都有1个1(即$(i,i)$位置)，我们不妨从结果考虑，如果成立,则不看对角元素以外的元素，必有对角元素上都有1，我们任意做交换操作，都满足，任意一个行都唯一的与一个列对应，即对于每一行都存在一列有1，且1的位置互不相同。而交换是可逆的，所以只要满足上述条件就一定会成立。这种模型很容易想到二分图批配问题，即将行看作左列，列看作右列，作二分图批配，若能完全匹配，则成立。

二分匹配的两种思路

1

匈牙利算法： 本质上是一个递归找对应得方法，基于一些比较复杂得图论得定理，这里不做详细描述(其实我不会)，在本题中，如果一次找匹配失败找不到则宣告失败，因为注定无法完全匹配。

2

网络流：建立虚点，源点和汇点，汇点链接右端点，源点链接左端点，跑$ek$或者$dinic$最大流。由于$dinic$最大流得特点，这里分层最多也只能分4层，而且还有一些玄学原因，所以这里跑$dinic$算法复杂度是相当优秀的,似乎是$O(\sqrt n m)$，远远高于普通最大流和匈牙利算法。dinic果然赛高！！！

代码

写这题时还不会网络流gg……，所以这里放一个匈牙利算法的板子。

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#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn=2000; 
bool vis[maxn];
vector<int> p[maxn];
int mth[maxn];
int n,m,e;
bool dfs(int now)
{
	int len=p[now].size();
	for(int i=0;i<len;i++)
	{
		int v=p[now][i];
		if(vis[v]) continue;//如果是被走过的点就直接找下一个
		vis[v]=1;
		if(!mth[v]||dfs(mth[v]))//先判断是否已经被批配，然后判断若换匹配能否成立 
		{
			mth[v]=now;
			return 1;
		 } 
	}
	return 0;
}
void ini()
{
	for(int i=1;i<=2*n;i++) vis[i]=0;
}
int main()
{
	int t,ans;
	scanf("%d",&t);
	while(t--)
	{
		int x,yes=1;
	scanf("%d",&n);
	for(int i=1;i<=2*n;i++) mth[i]=0,p[i].clear();
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		for(int j=1;j<=n;j++)
		{
			scanf("%d",&x);
			if(x) p[i].push_back(j+n);
		}
	}
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		ini();
		if(!dfs(i))
		{
		  yes=0;
		 break;
		}
	}
	if(yes) printf("Yes\n");
	else printf("No\n");
	}
}