本周无团队训练

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2020TCO3B 500 ShortBugPaths

tag:模拟

题意：一个N*N的网格($N \le 1e9$) ，可以从任意格子出发，每步可以从(x1,y1)移动到$(x2,y2) iff |x1-x2|+|y1-y2| \in D$(D是一个集合 其内元素小于等于10)，可以走k步($k \leq 10$)，问有多少种不同路径。

做法：可以发现一条路径在两个方向的跨度均不会超过10k，考虑用dpijk表示第k步后在(i,j)的方案数，当N远大于k时（$N \ge 20k$），固定k，可以发现dpij按照取值规律整个N*N的表格分为9部分，四个角上边长为10*k的正方形、宽为10*k长为N-2*10*k的四个矩形和中间部分。中间部分取值全部一样，长方形中每个长为N-2*10*k的列取值相同。并且四个正方形和四个矩形取值中心对称。于是我们维护一个角上的小矩形的dp值和一个长方形的每列的取值即可。时间复杂度O($|D|^4k^3$)

如果不满足N远大于k的条件，此时$N \le 200$,此时直接暴力模拟即可，时间复杂度O($k^3*|D|^2$)