数学太菜，不会证明。

对于无向图，基尔霍夫矩阵的任意一个余子式是所有生成树边权权值之积的和。基尔霍夫矩阵构造方法如下，对于一条连接$x,y$权值为$z$的边，令$a_{x,x}+=z,a_{y,y}+=z,a_{x,y}-=z,a_{y,x}-=z$即可。

对于有向图，基尔霍夫矩阵$a_{x,x}$对应的余子式是以$x$点为根生成的根向/叶向生成树边权权值之积的和，根向就是所有边指向根节点，叶向就是所有边指向叶节点。基尔霍夫矩阵构造方法如下，对于一条由$x$指向$y$权值为$z$的边，令$a_{x,y}-=z$，根向则$a_{x,x}+=z$，叶向则$a_{y,y}+=z$即可。