CVBB ACM Team

• 分类：树形$DP$ ，根号分治

• 题意：给定一片森林，$q$ 此询问，每次给出两个点 $u,v$ ，如果 $u,v$ 在一棵树内输出 $-1$ ，否则在这两棵树任取一点临时建立一条边，求连边后的直径的期望。$n,q\le 10^5$

• 题解：首先我们可以预处理出每个点在哪棵树中，其次预处理出每个点 $u$ 到这棵树叶子的最大值 $mx[u]$ ，这个可以用树形$DP$ 处理，将每棵树按照这个最大值进行排序，最后在处理出每棵树的直径长度 $len$ 。询问的时候枚举点数少的树，在另一棵树中寻找另一个点。将两棵树连接 $u,v$ 后的直径有两种情况：$mx[u]+mx[v]+1$ 和 $\max(len[u],len[v])$。第二种情况是一个定值，因此对于每一个 $v$ 我们可以二分出满足第一种情况的 $u$ 的个数，剩余的即为第二种情况。最后答案要用$map$ 记录下来避免重复询问。复杂度是神奇的 $O(n\sqrt{n}\log{n})$

• comment：根号分治太神奇了

• 分类：$dp$

• 题意：给定$n$个带有权值的第一象限的矩形，并且每个矩形有两条边与坐标轴重合，选择一个子集，使得子集内的矩形面积并减去权值和的差最大

• 题解：按照横坐标排序后，可以写出一个$dp$转移式，$dp_i=x_i*y_i-a_i+\max (-x_j*y_i+dp_j)$，而$max$后面的式子可以通过凸包来维护，为了熟悉板子的使用换了插入直线和查询单点最大值的做法，需要注意由于可能存在负数，需要插入$(0,0)$

• comment：$dp$的转移式的推导比较巧妙，之后就变成裸题了，（为什么会放在$1E$啊草）

• 分类：prufer序列，组合计数。

• 题意：$n$个不同的点的生成森林中，每个点权值为该点的度数和平方，问所有生成森林的所有点的权值和是多少，$T$组数据。$(n,T \le 5000)$

• 题解：每个点都是对称的，因此只需固定一个点最后乘以$n$即可。首先设$h_i$为$i$个不同的点的生成森林数量，利用purfer序列可以得到$O(n^2)$递推式$$h_i=\sum_{j=0}^{i-1}\binom{i-1}{j}j^{(j-2)}$$接下来设$g_i$为我们所考虑的点所在的树大小为$i$时所有情况该点贡献的权值和，考虑将该点固定为根，然后枚举该点的度数，利用prufer序列算出方案数，再乘以度数的平方和，得到$O(n^2)$递推式$$g_i=\sum_{j=1}^{i-1}\binom{i-2}{j-1}{(i-1)}^{i-2-(j-1)}$$最后设$f_i$为节点数为$i$时一个固定节点对答案的贡献，考虑枚举该点所在树的大小，则剩下的节点组成森林，可以得到$O(n^2)$递推式$$f_i=\sum_{j=2}^{j=i}\binom{i-1}{j-1}g_jh_{i-j}$$对于每个询问，我们只需$O(1)$输出$nf_n$即可。

• comment：对prufer序列的高级应用，十分巧妙。

• 分类：字符串。

• 题意：给出$n$个字符串，将每个字符串重复循环无限次，问得到的$n$个新字符串有多少个本质不同的公共子串，若有无限个输出$-1$。$(\sum|s_i| \le 3 \times 10^5)$

• 题解：首先求出每个字符串的最小表示法（使用Lyndon分解，C++自带rotate()也可以很好实现循环移位），将每个字符串用其最短循环节表示（求出next数组，设$x$为最后一个位置的next数组值，字符串长度为$len$，若$(len-x)|len$则最小循环节长度为$len-x$，否则最小循环节长度为$len$），如果此时出现了$n$个相同的字符串，显然有无穷多个公共子串；否则由弱周期引理可以证明，对于两个字符串来说公共子串长度不超过长串的三倍，对于多个字符串来说，只需考虑最短串和其它串的公共子串的交即可。

• 具体来说，将除最短串外的串扩大到四倍，将最短串扩大到最长串的四倍，然后求这些字符串的公共子串数目即可。使用SAM来求过于繁琐还容易写锅，对于多串问题可以使用更为简便的广义SAM。只需将所有串插入广义SAM，然后对于每个串，将所有能到达的点标记，然后考虑所有标记数为$n$的节点即可。标记时只需按照字符串走一遍，每走到一个点不断跳link直到跳到的点已经被该点标记为止，这样每个字符串相当于标记了属于自己的SAM，而SAM节点数量是线性的，因此总复杂度为$O(n)$。

• comment：如果不当作结论题，可以说是结合了多种字符串基础算法，非常综合。

• 每日亿题2020.8.2
• 每日亿题2020.8.7

• 摸了

• 每日亿题

意外情况，摸了