Quark Round 1
A
题意
给定 $n,m$ 求满足 $i+j=n$ 且 $\lfloor i/j\rfloor+\lceil j/i\rceil=m$ 的正整数对 $(i,j)$ 的对数。
有 $10^5$ 组数据。$n,m\leq 10^7$ 。
题解
将 $j=n-i$ 带入第二个式子后发现是先减后增的。在极值点两侧分别二分即可。
或者分别讨论 $i<j$ 以及 $i\geq j$ 的情况，最后推出式子 $\lfloor \frac{n-1}{m} \rfloor-\lfloor \frac{n-1}{m+1}\rfloor+\lfloor \frac{n}{m} \rfloor-\lfloor \frac{n}{m+1} \rfloor$ 。
B
题意
给定一个 $n$ 个点 $m$ 条边的边带权无向图，在 $0$ 时刻你在点 $1$ 上。
假设当前是 $t$ 时刻，你在点 $v$ 上，你可以选择两种操作：
- 仍停留在点 $v$ 上，操作后到 $t+1$ 时刻。
- 选择一条边 $(a,b,w)$ 满足 $a=v$ 或 $b=v$ ，则你到这条边连接的另一个点上，操作后到 $t+w$ 时刻。
有 $k$ 条信息，$(t_i,v_i)$ 表示在 $t_i$ 时刻，点 $v_i$ 上会出现一只猪。如果这时你在这个点上，则你抓到了这只猪。
求最多能抓多少只猪。$n\leq 200$ ，$k\leq 5000$ ，$t\leq 10^9$ 。
解题思路
感觉和这个题好像。
先跑一遍 floyd。
对时间排序。设 $f[i]$ 表示考虑前 $i$ 条信息最多抓到的数量。枚举之后的信息判断转移即可。时间复杂度 $O(n^3+k^2)$。
可以做一个小的优化。枚举之后的信息可以改为枚举点对应的信息，复杂度是 $O(n^3+n\times k)$ 。
C
题意
给一颗 $n$ 个点有点权（可能为负）的树，加一条不存在的边（不能为自环），使得得到的基环树上所有点的深度与该点点权乘积之和最大。即最大化 $\sum w_i\times dep_i$ ，$dep$ 为到基环树的最短距离。 $n\leq10^6$
解题思路
换根dp。待补
D
题意
有 $n$ 个空字符串。对其进行 $q$ 次以下操作，设当前为第 $i$ 次操作：
1 l r，将编号在 $[l,r]$ 范围内的字符串末尾添加字符 $i$ 。2 L R，求 $[L,R]$ 范围内所有字符串的最长公共子序列长度。
$n,q\leq 10^5$。
解题思路
对于每次操作一，考虑对之后的询问的贡献。由于每次添加的字符是不会重复的，发现当两种操作满足 $l\leq L\leq R \leq r$ 时，会对 $[L,R]$ 的 LCS 产生 $1$ 的贡献。于是问题变成了一个二维数点问题，统计左端点在 $[1,L] $ 中，右端点在 $[R,n]$ 的操作一的个数。树状数组套线段树解决。
E
题意
有 $n$ 个二元组 $(a_i,b_i)$，当 $b_i\leq0$ 时不可操作。可以执行以下两种操作
- 对所有可操作的二元组，$b_i=b_i-a_i$ ，花费 $p$ 。
- 对所有可操作的二元组，交换 $a_i,b_i$ ，花费 $q$ 。
求使所有二元组均不可操作的最小花费。 $n\leq 10^5$ ，$a,b\leq 10^7$ 。
解题思路
将 $n$ 个二元组看作二维平面的向量。
假设经过一些操作后，二元组变为 $(x,y)$ 。若该二元组可以操作，则有 $x>0$ ，$y>0$ 。这里 $x,y$ 为关于 $a,b$ 的一次多项式， $x>0$ ，$y>0$ 对应平面上的两条直线所夹的区域。故在经过一些操作之后仍可操作的向量，被夹在两条过原点的直线之间。若所有向量都不可操作，那么没有任何向量夹在这两条直线之间。将 $n$ 个二元组极角排序后，枚举相邻的二元组，表示最终的两条直线从他们之间穿过。问题便转化为两个向量的问题。
假设当前枚举的向量为 $\vec{v_1},\vec{v_2}$ ，前者极角序更小。
- 若 $\vec{v_1},\vec{v_2}$ 都位于直线 $y=x$ 上方，则执行操作一。
- 若 $\vec{v_1},\vec{v_2}$ 两个向量都位于直线 $y=x$ 下方，则执行操作二。
- 若 $\vec{v_1}$ 为于 $y=x$ 上方，$\vec{v_2}$ 位于 $y=x$ 下方，则取以下两者花费最小的：
- 执行一次操作一，使 $\vec{v_2}$ 下方的向量变为不可操作。之后执行操作二，再执行若干次操作一，使 $\vec{v_1}$ 上方的向量不可操作。
- 先执行一次操作二，再执行一次操作一，使 $\vec{v_1}$ 上方的向量不可操作；之后执行一次操作二，再执行若干次操作一，使 $\vec{v_2}$ 下方的向量不可操作。
其中 1 和 2 为类似辗转相除的过程，3 只会执行一次。时间复杂度为 $O(n\log\min(a,b))$ 。
