虚树

二项式反演

斯特林数

多项式 4

字符串 1

无

无

Splay

2-SAT

洛谷p2495

给定一棵树， $m$ 个询问，每次询问 $k$ 个点均不与 $1$ 号点相连的最小代价和。

$dp[now]$ 为now节点及下属节点的最小代价和，则 $dp[now]=\left\{ \begin{aligned}edge[now][fa].w,target[now]=true \\ \sum dp[v],now=1\\min(\sum dp[v],edge[now][fa].w),others\end{aligned} \right.$ 。使用虚树求解。

洛谷p5293

FFT，单位根反演，数学

给定一个二维 $[L+1]\times n$ 的空间，其中 $(u_1,v_1)\to (u_2,v_2)$ 有 $w_{v_1,v_2}$ 条重边。

假设起点为 $(0,x)$，终点为 $(\ast,y)$($\ast$ 为任意值)，路径长度 $m$ 定义为路径的边数。

对每个 $0\le t\lt k$，求满足所有 $m\equiv t\pmod k$ 且横坐标单增的路径数模 $p$ 意义下的值。

数据保证 $p$ 为素数，$10^8\le p\le 2^{30},k\mid p-1,1\le k\lt 65536,1\le n\le 3,L\le 10^9$。

假设 $f_{a,b}$ 表示 $m=a$ 且 $y=b$ 的路径数，$g_{a,b}$ 表示将空间的 $X$ 维消去后 $m=a$ 且 $y=b$ 的路径数。

于是有状态转移方程

$$g_{a,b}=\sum_{i=1}^n g_{a-1,i}w_{i,b}\text{ },\text{ }f_{a,b}={L\choose a}g_{a,b}$$

设矩阵

$$W=\begin{bmatrix}w_{1,1} & \cdots & w_{1,n} \\ \vdots &\ddots & \vdots \\ w_{n,1} &\cdots & w_{n,n}\end{bmatrix}$$

设 $G_i=(g_{i,1}\cdots g_{i,n})$，于是有 $G_i=G_0W^i$。

考虑单位根反演，设 $w_k\equiv g^{\frac {p-1}k}\pmod p,g$ 为 $p$ 的原根，有

$$ \begin{equation}\begin{split} \text{ans}_t&=\sum_{i=0}^Lf_{i,y}[i\bmod k=t]\\ &=\frac 1k\sum_{i=0}^Lf_{i,y}\sum_{j=0}^{k-1}w_k^{(i-t)j}\\ &=\frac 1k\sum_{j=0}^{k-1}w_k^{-tj}\sum_{i=0}^L f_{i,y}w_k^{ij} \end{split}\end{equation} $$ 根据二项式定理，有 $$\sum_{i=0}^L w_k^{ij}(f_{i,1}\cdots f_{i,n})=\sum_{i=0}^L w_k^{ij}{L\choose i}(g_{i,1}\cdots g_{i,n})=G_0\sum_{i=0}^L {L\choose i}\left(w_k^jW\right)^i=G_0\left(w_k^jW+I\right)^L$$ 于是根据矩阵快速幂可以 $O(kn^3\log L)$ 计算出所有 $h_j=\sum_{i=0}^L f_{i,y}w_k^{ij}(0\le j\lt k)$。

于是有

$$\text{ans}_t=\frac 1k\sum_{i=0}^{k-1}w_k^{-ti}h_i$$

发现上式就是 $\text{Bluestein's Algotithm}$ 的 $\text{IDFT}$ 过程，直接求解时间复杂度 $O(k\log k)$。

总时间复杂度 $O(kn^3\log L)$，主要用于计算矩阵快速幂。

一道有一定思维量的循环卷积题。

2018-2019 ACM-ICPC Asia Seoul Regional K TV Show Game

标签

2-SAT，tarjan 求强连通分量(SCC)，缩点

题意

有 $k(k>3)$ 盏灯，每盏灯是红色或者蓝色，但是初始的时候不知道灯的颜色。有 $n$ 个人，每个人选择 3 盏灯并猜灯的颜色。一个人猜对两盏灯或以上的颜色就可以获得奖品。判断是否存在一个灯的着色方案使得每个人都能领奖，若有则输出一种灯的着色方案。这道题在判断是否有方案的基础上，在有方案时还要输出一个可行解。

题解

首先连边建图，然后用 tarjan 求强连通分量，若出现一组的两个元素都出现在同一个强连通分量中，则无解，反之有解。如果要输出 2-SAT 问题的一个可行解，只需要在 tarjan 缩点后所得的 DAG 上自底向上地进行选择和删除。具体实现的时候，可以通过构造 DAG 的反图后在反图上进行拓扑排序实现；也可以根据 tarjan 缩点后，所属连通块编号越小，节点越靠近叶子节点这一性质，优先对所属连通块编号小的节点进行选择。

评价

一道对 2-SAT 问题的理解很有帮助的题。