后缀自动机简称 $SAM$ 。

我们记 $\sum$ 为字符集， $|\sum|$ 为字符集大小。

以下问题可以通过 $SAM$ 在线性时间内解决。

1.在另一个字符串中搜索一个字符串的所有出现位置。（ $kmp$ 、哈希也可以）

2.计算给定的字符串中有多少个不同的子串。（后缀数组也可以线性做）

在直观上，我们可以把 $SAM$ 理解为将字符串的所有子串压缩在一个树上。对于长度为 $n$ 的字符串， $SAM$ 的空间复杂度是 $O(n)$ 的，此外构造 $SAM$ 的时间复杂度也是 $O(n)$ 的，小结论：一个 $SAM$ 最多有 $2n-1$ 个结点和 $3n-4$ 条转移边。

我们把结点称作状态，边称为状态之间的转移。我们有一个初始的源点作为初始状态，其他各个结点都可以从这个源点出发到达。每个转移都标有一些字母，从一个结点出发的所有转移都不同。存在一个或多个终止状态，路径上所有转移连接起来一定是字符串的一个后缀，并且每一个后缀都可以用一条从源点到终止状态的路径构成。所以子串就是后缀的前缀也就是从源点开始到任意一个点的路径，所以可以说一个点对应着一个原字符串的子串。

结束位置 $endpos$ ：考虑字符串 $s$ 的任意非空子串 $t$ ，我们记 $endpos(t)$ 为在字符串 $s$ 中 $t$ 的所有结束位置（从 $0$ 开始），比如现在有一个字符串叫 $abcbc$ ，我们有 $endpos("bc")=2,4$ 。不同子串 $t_{1}$ 和 $t_{2}$ 的 $endpos$ 集合可能相等，比如刚才的 $c$ 和 $bc$ ，所以我们可以根据 $endpos$ 集合的不同将 $s$ 的非空子串分为若干等价类。

$SAM$ 中的每个状态对应一个 $endpos$ 相同的等价类，还有一个初始状态，所以 $SAM$ 的状态个数等于等价类的个数 $+1$ 。

假设字符串 $s$ 的两个非空子串 $u$ 和 $v$ 的 $endpos$ 相同，显然有短的字符串是长的字符串的后缀。 $endpos$ 之间要么相交是空（不为后缀关系），要么是被包含的关系（其中一个是另一个的后缀），且满足这个等价类的子串的长度是一个连续的区间。

后缀链接 $link(v)$ 连接到对应于比 $v$ 等价类最短的还短一个字符的字符串的等价类。所有的后缀链接构成一棵根节点为 $t_{0}$ 的树。如果我们从任意状态 $v_{0}$ 开始沿着后缀链接遍历，总会到达初始状态 $t_{0}$ ，这种情况会得到一个互不相交的区间 $[minlen(v_{i}),len(v_{i})]$ ，并且他们的并集正好是 $ [0,len(v_{0})]$ 。

后缀自动机的构造是在线的，我们可以逐个加入字符串的每个字符，并且每一步维护 $SAM$ 。我们为了保证线性的空间复杂度，只保存 $len$ 和 $link$ 的值和每个状态的转移列表，不会标记终止状态。一开始 $SAM$ 只包含一个状态 $t_{0}$ ，编号为 $0$ ，为了方便我们规定 $t_{0}$ 的 $len=0,link=-1$ （ $-1$ 表示虚拟状态）。现在我们开始插入字符：令 $last$ 为添加字符 $c$ 之前，整个字符串对应的状态（每次的最后一步都会更新这个值）。创建一个新的状态 $cur$ （因为整个字符串一定是第一次出现的），并将 $len(cur)$ 赋值为 $len(last)+1$ ，这时 $link(cur)$ 的值还未知。

从状态 $last$ 开始，如果没有字符 $c$ 的转移，我们就添加一个到状态 $cur$ 的转移，遍历后缀链接，如果在某个点已经存在到字符 $c$ 的转移，我们就停下来，并将这个状态标记为 $p$ 。

如果没有找到这个 $p$ ，则到达了 $-1$ ，此时我们将 $link(cur)$ 赋值为 $0$ 并退出。

如果找到了，且我们知道经过字符 $c$ 转移后的状态为 $q$ ，现在分情况进行讨论：

如果 $len(p)+1=len(q)$ ，我们只需要将 $link(cur)$ 赋值为 $q$ 并退出。

否则我们需要复制 $q$ ，我们创建一个新的状态 $clone$ ，复制 $q$ 除了 $len$ 的值之外的所有信息（包括后缀链接和转移），然后将 $len(clone)$ 赋值为 $len(p)+1$ 。之后我们将 $link(cur)$ 指向 $clone$ ，也将 $link(q)$ 指向 $clone$ 。这样就是 $q$ 发现了一个介于原来两个之间的状态，于是需要把 $link(q)$ 指向 $clone$ 。

无论哪种情况，最后我们都将 $last$ 的值更新为 $cur$ 。

这里遍历后缀链接的原因是：我们创建了一个新的状态之后，对后缀链接这些状态进行遍历，尝试添加通过一个字符 $c$ 到新状态 $cur$ 的转移，但是我们不能覆盖之前的合法转移，当没有找到时，说明这个字符从未出现过，所以后缀链接为 $0$ 。如果出现了，说明我们正在向自动机内添加一个已经存在了的子串，如果存在 $len(q)=len(p)+1$ ，说明之前已经有一个状态的转移是一样的，直接连到转移后的就可以了；如果不存在，说明转移是不连续的，即 $q$ 不仅对应于长度为 $len(p)+1$ 的后缀，还对应着更长的子串，就需要拆开状态 $q$ 来创建这样的状态。但是这样还没完，我们需要把一些本来转移到 $q$ 的转移重定向到 $clone$ ，我们需要继续沿着后缀链接遍历，从结点 $p$ 直到 $-1$ 或者转移到不是状态 $q$ 的一个转移。

因为我们只为 $s$ 的每个字符创建了一个或者两个新状态，所以 $SAM$ 只包含线性个状态。

如果你用 $map$ 存储转移列表，时间复杂度会变成 $O(nlog|\sum|)$ ，当字符集为较小的常数，比如 $26$ 时，就将转移数组设为 $int[26]$ 即可。

给 $SAM$ 赋予树形结构，树的根为 $0$ ，其余结点 $v$ 的父亲为 $link(v)$ 。则 $S_{1…p}$ 和 $S_{1…q}$ 的最长公共后缀对应的字符串就是 $v_{p}$ 和 $v_{q}$ 对应的 $LCA$ 的字符串。显然每个状态对应的子串种类数是 $len(i)-len(link(i))$ 。