补题情况

题目	蒋贤蒙	王智彪
A	0	2
B	0	0
C	1	2
D	2	0
E	0	0
G	0	2
J	2	1
K	0	0

题解

A. Contracting Convex Hull

题意

给了 $n(n≤1000)$ 个点的凸包，这个凸包每条边以 $1$ 的速度向内收缩。给 $q$ 组询问，每组询问一个时间，求这个时间凸包的面积。 $(q≤100000)$ 。

题解

这绝对是最容易理解的解法，没有之一！（因为看了别人的神仙代码看不懂，于是自己亲自动手了…）

由角分线定理知，每个点的移动轨迹其实是这个点在凸包内的夹角的角平分线。

于是我们可以求每个角，也就知道每个点的轨迹，知道轨迹就可以知道这个边什么时候收缩到一个点。

烦人的是因为有的边收缩成点，会改变凸包形状，于是相邻的角会变，然后相邻的边的收缩时间会变，所以这是个动态的过程，这也是我考场上不知道怎么解决的地方，对不起我的队友…

于是我这个暴力狂 $(×)$ ，自然每次都暴力求一下所有点的收缩时间，选出最短的时间，同时有一点很显然，就是将询问时间排序，模拟凸包收缩的过程。当当前询问的时间在现在时间+最近删除时间之后时，说明我们要删除一个点，于是我们模拟删除的过程，并更新凸包周长面积和周长缩小速度（暴力更新即可，因为每次删除也是 $O(n)$ 的，除非你闲出屁…）。

然后面积就是删除后的当前时间距离询问时间这个时间内缩小之后的周长（是时间的一次函数，可以直接 $O(1)$ 得到）+之前周长（也就是梯形的上底加下底）乘时间除以 $2$ 即可，也就是我们把两个凸包之间的区域看成 $n$ 个梯形，搞一下就出来了~。

别忘了，当删剩下的点不足 $2$ 的时候，直接输出 $0$ ，因为已经没有面积，不然样例都过不去 $(×)$ 。

代码

//这绝对是最粗暴并且最易懂的做法！！！ 
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int M=100100;
const long double eps=1e-12;
int n,q,erase;
long double ans[M],ti,tot,V,Len,dans;
int sgn(long double a) {
	if(fabs(a)<eps)return 0;
	if(a>0)return 1;
	else return -1;
}
struct QQ {
	int id;
	long double t;
} Q[M];
int cmp(QQ a,QQ b) {
	return a.t<b.t;
}
 
int nxt(int i,int n) {
	i++;
	if(i==n+1) return 1;
	return i;
}
 
struct node {
	long double x,y,dx,dy;
	node operator +(const node&tmp)const {
		return (node) {x+tmp.x,y+tmp.y,dx+tmp.dx,dy+tmp.dy};
	}
	node operator -(const node&tmp)const {
		return (node) {x-tmp.x,y-tmp.y,dx-tmp.dx,dy-tmp.dy};
	}
	node operator /(const long double &a)const {
		return (node) {x/a,y/a,dx/a,dy/a};
	}
	long double length() {
		return sqrt(x*x+y*y);
	}
	long double v() {
		return sqrt(dx*dx+dy*dy);
	}
	long double dis(node nd) {
		return sqrt((x-nd.x)*(x-nd.x)+(y-nd.y)*(y-nd.y));
	}
} A[M],now;
long double Angle(node a,node b) {
	return acos((a.x*b.x+a.y*b.y)/a.length()/b.length());
}
node rotate(node a,long double t) {
	return (node) {a.x*cos(t)-a.y*sin(t),a.x*sin(t)+a.y*cos(t),0,0};
}
void init(long double &a,long double &b,long double &c) {
	if(n<3)return;
	a=0,b=0,c=0;
	int m=0;
	while(erase&&n>=3) {
		for(int i=erase; i<n; i++) A[i]=A[i+1];//把删除的点挤掉 
		n--;//少了一个点 
		erase=0;//把消除标记打掉 
		A[0]=A[n],A[n+1]=A[1];
		for(int i=1; i<=n; i++) {
			long double t;
			now=A[i+1]-A[i];
			t=now.length()/now.v();
			if(sgn(t-ti)==0) erase=i;//这个点也应该这个点删掉 那就继续删 
		}
	}
	if(n<3)return;
	for(int i=1; i<=n; i++) {
		A[i].x=A[i].x+A[i].dx*ti;//移动速度*时间 
		A[i].y=A[i].y+A[i].dy*ti;
	}
	A[0]=A[n],A[n+1]=A[1];
	for(int i=1; i<=n; i++) {
		long double th=Angle(A[i-1]-A[i],A[i+1]-A[i])/2;//移动按照角分线移动 
		now=rotate(A[i+1]-A[i],th);//旋转到角分线位置 
		now=now/now.length()/sin(th);//如果凸包缩小1 这个点沿角分线移动now的距离 
		A[i].dx=now.x;//dx赋值 
		A[i].dy=now.y;
	}
	A[0]=A[n],A[n+1]=A[1];
	tot+=ti;
	ti=1e9;
	for(int i=1; i<=n; i++) {
		now=A[i+1]-A[i];
		long double t=now.length()/now.v();//发现速度垂直于线的分量被两边消掉了 只剩下沿线方向的 于是就直接除就是这个边消失的时间 
		if(sgn(t-ti)<0) {//看看接下来应该删什么 
			ti=t;
			erase=i;
		}
	}
	V=0;
	Len=0;
	dans=0;
	for(int i=1;i<=n;i++) {
		V+=(A[i+1]-A[i]).v();//暴力计算周长缩小的速度  
		Len+=(A[i+1]-A[i]).length();//暴力计算当前周长 
		dans+=(A[i].x*A[nxt(i,n)].y-A[i].y*A[nxt(i,n)].x)/2;//暴力计算当前面积 
	}
	dans=fabs(dans);//三角剖分求面积需要绝对值 
}
 
void solve() {
	long double a=0,b=0,c=0;
	init(a,b,c);
	for(int i=1; i<=q; i++) {
		while(n>=3&&sgn(tot+ti-Q[i].t)<=0) init(a,b,c); //当 当前时间+最快要删除的点的时间和小于等于这个时间说明要删这个点 
		if(n<3) ans[Q[i].id]=0;//不足三个点 图形都围不成直接0 
		else ans[Q[i].id]=dans-(Len+Len-(Q[i].t-tot)*V)*(Q[i].t-tot)/2;//不然就是当前面积-所有的梯形面积就是（原周长+现在周长）*时间/2 
	}
}
int main() {
	scanf("%d",&n);
	for(int i=1; i<=n; i++) {
		A[i].dx=A[i].dy=0;
		scanf("%LF%LF",&A[i].x,&A[i].y);
	}
	scanf("%d",&q);
	for(int i=1; i<=q; i++) {
		Q[i].id=i;//标记是哪个问题 
		scanf("%LF",&Q[i].t);
	}
	sort(Q+1,Q+1+q,cmp);//将点的移动按照时间排序 
	solve();
	for(int i=1; i<=q; i++) printf("%.10LF\n",ans[i]);
	return 0;
}

D. Gambling Monster

题意

给定一个数 $x$，初始值为 $0$。每次操作随机获得一个数 $y$，$y\in [0\sim n-1]$，其中 $y=i$ 的概率为 $p_i$。

每次操作 $x\gets \max(x,x\oplus y)$，求 $x$ 变成 $n-1$ 的期望操作次数。保证 $n$ 为 $2$ 的幂次。

题解

设 $\text{dp}(i)$ 表示从 $i$ 到 $n-1$ 的期望操作次数，则 $\text{dp}(n-1)=0$，题目答案为 $\text{dp}(0)$。不难得到以下状态转移

$$ \text{dp}(i)=1+\sum_{j\oplus i\gt i}p_j\text{dp}(j\oplus i)+\sum_{j\oplus i\le i}p_j\text{dp}(i) $$

移项，得

$$ \text{dp}(i)=\cfrac{1+\sum_{j\oplus i\gt i}p_j\text{dp}(j\oplus i)}{\sum_{j\oplus i\gt i}p_j} $$

考虑满足 $j\oplus i\ge i$ 的 $j$ 的范围。设 $i=010100$，从高位到低位考虑合法的 $j$。

不难发现 $j\in [100000\sim 111111]\cup [001000\sim 001111]\cup [000010\sim 000011]\cup [000001\sim 000001]$。

预处理 $p_j$ 的前缀和，不难计算出 $\sum_{j\oplus i\gt i}p_j$。接下来考虑怎么计算 $\sum_{j\oplus i\gt i}p_j\text{dp}(j\oplus i)$。

实际上，可以从后往前 $\text{dp}$，刷表法更新 $\sum_{j\oplus i\gt i}p_j\text{dp}(j\oplus i)$。

当计算完 $i=010100$ 时 $\text{dp}(010100\sim 010111)$ 正好全部算出，取 $j=[000100\sim 000111]$。

利用 $\text{FWT}$ 计算 $\text{dp}(010100\sim 010111)$ 对 $\text{dp}(010000\sim 010011)$ 的贡献。

贡献计算的时间复杂度 $O\left(\sum_{i=1}^{n}\text{lowbit}(i)\log \left(\text{lowbit}(i)\right)\right)\sim O(n\log^2 n)$。

ps. 标程是 $\text{CDQ}$ 分治套 $\text{FWT}$，突然感觉简单了不少。

查看代码

const int MAXN=1<<17,mod=1e9+7;
int quick_pow(int n,int k){
	int ans=1;
	while(k){
		if(k&1)ans=1LL*ans*n%mod;
		n=1LL*n*n%mod;
		k>>=1;
	}
	return ans;
}
void XOR(int *f,int n,int type){
	int t1,t2,t3=type==1?1:quick_pow(2,mod-2);
	for(int i=1;i<n;i<<=1)
	for(int j=0;j<n;j+=(i<<1))
	_for(k,j,j+i){
		t1=f[k],t2=f[k+i];
		f[k]=1LL*(t1+t2)*t3%mod;
		f[k+i]=1LL*(t1-t2)*t3%mod;
	}
}
#define lowbit(x) ((x)&(-x))
int a[MAXN],pre[MAXN],dp[MAXN],temp1[MAXN],temp2[MAXN];
void solve(){
	int n=read_int(),s=0,bt=0;
	while(n!=(1<<bt))bt++;
	bt--;
	_for(i,0,n){
		a[i]=read_int();
		s+=a[i];
		pre[i]=s;
	}
	s=quick_pow(s,mod-2);
	_for(i,0,n){
		a[i]=1LL*a[i]*s%mod;
		pre[i]=1LL*pre[i]*s%mod;
	}
	mem(dp,0);
	for(int i=n-2;i>=0;i--){
		dp[i]++;
		int d=0;
		for(int j=bt;j>=0;j--){
			if((i&(1<<j))==0)
			d=(d+pre[(1<<(j+1))-1]-pre[(1<<j)-1])%mod;
		}
		dp[i]=1LL*dp[i]*quick_pow(d,mod-2)%mod;
		int len=lowbit(i);
		_for(j,0,len){
			temp1[j]=dp[i+j];
			temp2[j]=a[j^len];
		}
		XOR(temp1,len,1);
		XOR(temp2,len,1);
		_for(j,0,len)
		temp1[j]=1LL*temp1[j]*temp2[j]%mod;
		XOR(temp1,len,0);
		_for(j,0,len)
		dp[(i^len)+j]=(dp[(i^len)+j]+temp1[j])%mod;
	}
	enter((dp[0]+mod)%mod);
}
int main(){
	int T=read_int();
	while(T--){
		solve();
	}
	return 0;
}

J. Defend Your Country

题意

给定 $n$ 个点 $m$ 条边的连通图，要求删去任意条边，最大化图的点权和。

其中第 $i$ 个点的点权的绝对值为 $a_i$，如果该点所在连通块大小为偶数则权值为正，否则为负。

题解

不难发现如果 $n$ 为偶数则不需要任何删边。

如果 $n$ 为奇数，如果最优解中存在一个大小不为 $1$ 的奇连通块，任取该连通块的一个点删去所有相关连边一定不会使得答案变劣。

因此不妨考虑强制删一个点，如果这个点不是割点，显然删除该点后不需要额外删点，统计此时的答案。

如果这个点是割点，则需要考虑删去这个点得到的剩余连通分量，如果每个连通分量大小都是偶数，显然也不需要额外删点。

否则，删去该点后得到至少两个奇连通分量，还要继续在奇连通分量中删点，事实上，这种策略一定不是最优的，下面给出证明：

假设这是最优策略，则所有删去的点一定是原图中的割点，否则如果存在非割点一开始删去该点才是最优。

另外，每次删去割点一定得到的都是奇连通块，否则考虑 (偶连通块-第二个割点-偶连通块)-第一个割点-奇连通块的情况。

其中原策略是删除第一个割点后得到奇连通块 (偶连通块-第二个割点-偶连通块)，再删除第二个割点。这样一定不如直接删去第二个割点。

于是由于每个割点删完后一定存在与他相邻的奇连通块，然后又要在奇数连通块中删割点，于是每个割点一定有两个相邻割点。

考虑在原图建立点双树，易知点双树的叶子割点一定没有两个相邻割点，矛盾。因此假设不成立。

至于维护删除割点后的其他连通分量奇偶性可以在跑 $\text{dfs}$ 树时顺便维护子树大小，根据子树奇偶性判断。

特别注意即使 $u$ 是割点，删除 $u$ 也不能保证 $u$ 的每个子树都构成独立连通分量。

事实上如果 $\text{low[v]}<\text{dfn}[u]$ 则说明 $v$ 和 $u$ 的祖先结点属于同一个点双连通分量，不要重复判定。比赛的时候就这里假了，长了个教训。

时间复杂度 $O(n+m)$。

查看代码

const int MAXN=1e6+5,MAXM=2e6+5,Inf=1e9;
struct Edge{
	int to,next;
}edge[MAXM<<1];
int head[MAXN],edge_cnt;
void Insert(int u,int v){
	edge[++edge_cnt]=Edge{v,head[u]};
	head[u]=edge_cnt;
}
int low[MAXN],dfn[MAXN],sz[MAXN],dfs_t;
bool iscut[MAXN],fib[MAXN];
void dfs(int u,int fa){
	low[u]=dfn[u]=++dfs_t;
	int child=0;
	sz[u]=1;
	for(int i=head[u];i;i=edge[i].next){
		int v=edge[i].to;
		if(v==fa)continue;
		if(!dfn[v]){
			dfs(v,u);
			sz[u]+=sz[v];
			if(sz[v]%2&&low[v]>=dfn[u])
			fib[u]=true;
			low[u]=min(low[u],low[v]);
			if(low[v]>=dfn[u]&&u!=fa)
			iscut[u]=true;
			if(u==fa)child++;
		}
		low[u]=min(low[u],dfn[v]);
	}
	if(u==fa&&child>=2)
	iscut[u]=true;
}
int a[MAXN];
void solve(){
	int n=read_int(),m=read_int();
	LL ans=0;
	edge_cnt=0,dfs_t=0;
	_rep(i,1,n){
		a[i]=read_int();
		head[i]=0;
		dfn[i]=0;
		iscut[i]=0;
		fib[i]=0;
		ans+=a[i];
	}
	while(m--){
		int u=read_int(),v=read_int();
		Insert(u,v);
		Insert(v,u);
	}
	if(n%2==0){
		enter(ans);
		return;
	}
	dfs(1,1);
	int det=Inf;
	_rep(i,1,n){
		if(!iscut[i])
		det=min(det,a[i]);
		else if(!fib[i])
		det=min(det,a[i]);
	}
	enter(ans-det*2);
}
int main(){
	int T=read_int();
	while(T--){
		solve();
	}
	return 0;
}

CVBB ACM Team

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