动态规划 1

数位DP

算法简介

一般用于处理形如区间 $[l,r]$ 中满足条件的数有几个之类问题。

算法思想

首先考虑将区间 $[l,r]$ 拆分成 $[0,r]-[0,l]$。

考虑记忆化搜索，一般搜索函数为 $f(pos,s,eq,zero)$。

其中 $pos$ 表示当前搜索位置，$s$ 表示前缀状态，$eq$ 表示前缀是否与查询上界相等，$zero$ 表示是否有前导零。

算法练习

习题一

洛谷p2657

题意

询问区间 $[l,r]$ 中满足相邻数位之差至少为 $2$ 的数的个数。

题解

查看代码

int a[10],dp[10][10];
int dfs(int pos,int pre,bool eq,bool zero){
	if(!pos)return 1;
	if(!eq&&~dp[pos][pre])return dp[pos][pre];
	int ans=0,v=eq?a[pos]:9;
	_rep(i,0,v){
		if(!zero&&abs(i-pre)<2)
		continue;
		ans+=dfs(pos-1,i,eq&&i==a[pos],zero&&i==0);
	}
	if(!eq&&!zero)dp[pos][pre]=ans;
	return ans;
}
int solve(int n){
	int len=0;
	mem(dp,-1);
	while(n){
		a[++len]=n%10;
		n/=10;
	}
	return dfs(len,0,true,true);
}
int main()
{
	int a=read_int(),b=read_int();
	printf("%d",solve(b)-solve(a-1));
	return 0;
}

习题二

洛谷p2602

题意

询问区间 $[l,r]$ 所有整数中 $0\sim 9$ 分别出现的次数。

题解

依次计算 $0\sim 9$ 出现次数。每次把搜索函数中的 $s$ 当成当前前缀的贡献即可。

查看代码

const int MAXL=15;
LL a[MAXL],dp[MAXL][MAXL];
int goal;
LL dfs(int pos,int pre,bool eq,bool zero){
	if(!pos)return pre;
	if(!eq&&~dp[pos][pre])return dp[pos][pre];
	int v=eq?a[pos]:9;LL ans=0;
	_rep(i,0,v){
		if(zero&&i==0)
		ans+=dfs(pos-1,pre,eq&&i==a[pos],true);
		else
		ans+=dfs(pos-1,pre+(i==goal),eq&&i==a[pos],false);
	}
	if(!eq&&!zero)dp[pos][pre]=ans;
	return ans;
}
LL solve(LL n){
	int len=0;
	mem(dp,-1);
	while(n){
		a[++len]=n%10;
		n/=10;
	}
	return dfs(len,0,true,true);
}
int main()
{
	LL a=read_LL(),b=read_LL();
	_rep(i,0,9){
		goal=i;
		printf("%lld ",solve(b)-solve(a-1));
	}
	return 0;
}

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