用户工具

站点工具


2020-2021:teams:legal_string:jxm2001:动态规划_2

这是本文档旧的修订版!


动态规划 2

二进制优化

算法模型

给定一个容量为 $m$ 的背包和 $n$ 种物品。每种物品价值为 $v_i$,重量为 $w_i$,数量为 $c_i$。求最多可以得到的价值。

算法实现

暴力方法为将每种物品转化为 $c_i$ 个独立物品考虑,然后就是一个 $01$ 背包问题。

不难发现任意一个不超过 $c_i$ 的正整数一定用 $1,2,4\cdots 2^n,(c_i-2^{n+1}+1)$ 表示。

于是可以将每种物品拆成 $1,2,4\cdots 2^n,(c_i-2^{n+1}+1)$ 个物品构成的包考虑。

物品总数优化为 $O\left(\sum_{i=1}^n \log {c_i}\right)$,总时间复杂度为 $O\left(m\sum_{i=1}^n \log {c_i}\right)$。

代码模板

查看代码

查看代码

const int MAXM=4e4+5,MAXC=2005;
int dp[MAXM],v[MAXC],w[MAXC];
int main()
{
	int n=read_int(),m=read_int(),cnt=0;
	_for(i,0,n){
		int a=read_int(),b=read_int(),c=read_int();
		for(int j=1;j<c;j<<=1){
			v[cnt]=j*a,w[cnt++]=j*b;
			c-=j;
		}
		v[cnt]=c*a,w[cnt++]=c*b;
	}
	_for(i,0,cnt)
	for(int j=m;j>=w[i];j--)
	dp[j]=max(dp[j],dp[j-w[i]]+v[i]);
	enter(dp[m]);
	return 0;
}
2020-2021/teams/legal_string/jxm2001/动态规划_2.1603175640.txt.gz · 最后更改: 2020/10/20 14:34 由 jxm2001