这是本文档旧的修订版!
用于计算 $k_1a_1+k_2a_2+\cdots +k_na_n$ 在 $[0,m]$ 范围内能表示的数的算法。
考虑建点 $0,1\cdots a_1-1$。然后对每个点 $i$,连边 $i\to (i+a_j)\bmod a_1(w=a_j)$,再跑最短路。
于是可以 $O(n\times a\log a)$ 计算出最小的可以表示成 $ka_1+r(0\le r\lt a_1)$ 的数,于是每个 $r$ 对答案的贡献为 $\lfloor \frac {m-\text{dis}(r)}{a_1}\rfloor$。
不难发现可以重新排序选最小的 $a$ 作为 $a_1$,另外每个点的相邻点可以在跑最短路算法时动态计算,这些都有利于卡常和节省空间。
板子题。
给定一个四元环,环上每条边有一个边权,且重复经过则计算多次贡献。
人物从二号点出发,最终回到二号点,问权值不小于 $k$ 的路径的最小权值。
任取一条与二号点相邻的边,设权值为 $w$。设 $\text{dis}(i,j)$ 表示从二号点出发到达 $i$ 号点且距离模 $2w$ 等于 $j$ 的最小距离。
那么从二号点出发能得到的路径的权值集合为 $\{\text{dis}(2,r)+2kw|0\le r\lt 2w,k\ge 0\}$,枚举 $r$ 即可计算答案。
关于为什么选取 $2w$,可以解释为回到 $2$ 号点后可以在任意一条边上来回移动,正确性不难证明。