多项式练习 1

习题一

洛谷p3702

题意

询问有多少序列满足下列条件：

序列长度等于 $n$
序列由不超过 $m$ 的正整数构成且至少含有一个素数
序列所有数之和是 $p$ 的倍数

题解

考虑容斥，于是答案为由不超过 $m$ 的正整数构成的序列数减去不超过 $m$ 的合数构成的序列数。

不超过 $m$ 且模 $p$ 为 $i$ 的正整数个数，而利用线性筛可以计算出不超过 $m$ 且模 $p$ 为 $i$ 的合数个数。

设 $\text{dp}(i,j)$ 表示长度为 $i$ 且和模 $p$ 为 $j$ 的序列数，发现可以利用倍增 $+$ $\text{NTT}$ 转移。时间复杂度 $O(m+p\log n\log p)$。

本题 $p\le 100$ 且模数为合数，所以考虑直接暴力转移，时间复杂度 $O(m+p^2\log n)$。

查看代码

const int MAXM=2e7+5,MAXP=105,Mod=20170408;
int prime[MAXM],p_cnt,p;
bool vis[MAXM];
void get_prime(int n){
	vis[1]=true;
	_rep(i,2,n){
		if(!vis[i])prime[p_cnt++]=i;
		for(int j=0;i*prime[j]<=n&&j<p_cnt;j++){
			vis[i*prime[j]]=true;
			if(i%prime[j]==0)break;
		}
	}
}
void mul(int *a,int *b){
	static int temp[MAXP];
	mem(temp,0);
	_for(i,0,p)_for(j,0,p)
	temp[(i+j)%p]=(temp[(i+j)%p]+1LL*a[i]*b[j])%Mod;
	_for(i,0,p)a[i]=temp[i];
}
int cnt1[MAXP],cnt2[MAXP],dp1[MAXP],dp2[MAXP];
int main()
{
	int n=read_int(),m=read_int();
	p=read_int();
	get_prime(m);
	_rep(i,1,m){
		cnt1[i%p]++;
		cnt2[i%p]+=vis[i];
	}
	dp1[0]=dp2[0]=1;
	for(int i=30;i>=0;i--){
		if(n&(1<<i)){
			mul(dp1,cnt1);
			mul(dp2,cnt2);
		}
		if(i){
			mul(dp1,dp1);
			mul(dp2,dp2);
		}
	}
	enter((dp1[0]-dp2[0]+Mod)%Mod);
	return 0;
}

习题二

洛谷p4173

题意

给定只包含小写字母和通配符的字符串 $A,B$。其中 $A$ 为模板串，$|A|=m,|B|=n$。询问所有匹配位置。

题解

构成字符集到数值的映射

$$ f(x)= \begin{cases} x-a &x= a\sim z\\ 0 &x=* \end{cases} $$

令 $c_i=\sum_{i=0}^{m-1}(f(a_{m-1-i})-f(b_i))^2f(a_{m-1-i})f(b_i)$

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