这是本文档旧的修订版！

字符串 2

AC 自动机

算法简介

一种用于多模式串匹配的自动机，可以近似看成 $\text{Trie}$ 树上的 $\text{KMP}$ 算法。

算法例题

例题一

洛谷p5357

题意

给你一个文本串 $S$ 和 $n$ 个模式串 $T_i$，求每个模式串 $T_i$ 在 $S$ 中出现的次数。

题解

建立 $\text{AC}$ 自动机后记录每个节点的访问次数，最后拓扑或建立 $\text{fail}$ 树统计答案。时间复杂度 $O(|S|+\sum_{i=1}^n |T_i|)$。

查看代码

const int MAXN=2e6+5,MAXS=2e5+5;
int idx[MAXN];
struct AC{
	int ch[MAXS][26],val[MAXS],fail[MAXS],cnt[MAXS],deg[MAXS],sz,tot;
	int ans[MAXS];
	int insert(char *s){
		int len=strlen(s),pos=0;
		_for(i,0,len){
			int c=s[i]-'a';
			if(!ch[pos][c]){
				ch[pos][c]=++sz;
				val[sz]=fail[sz]=0;
				mem(ch[sz],0);
			}
			pos=ch[pos][c];
		}
		if(!val[pos])return val[pos]=++tot;
		else return val[pos];
	}
	void getFail(){
		queue<int> q;
		_for(i,0,26){
			if(ch[0][i])
			q.push(ch[0][i]);
		}
		while(!q.empty()){
			int u=q.front();q.pop();
			_for(i,0,26){
				if(ch[u][i]){
					deg[ch[fail[u]][i]]++;
					fail[ch[u][i]]=ch[fail[u]][i];
					q.push(ch[u][i]);
				}
				else ch[u][i]=ch[fail[u]][i];
			}
		}
	}
	void topu(){
		queue<int> q;
		_rep(i,1,sz){
			if(!deg[i]&&fail[i])
			q.push(i);
		}
		while(!q.empty()){
			int u=q.front();q.pop();
			if(fail[u]){
				cnt[fail[u]]+=cnt[u];
				deg[fail[u]]--;
				if(!deg[fail[u]])
				q.push(fail[u]);
			}
		}
	}
	void query(char *s){
		int len=strlen(s),pos=0;
		_for(i,0,len){
			pos=ch[pos][s[i]-'a'];
			cnt[pos]++;
		}
		topu();
		_rep(i,1,sz){
			if(val[i])
			ans[val[i]]=cnt[i];
		}
	}
}solver;
char buf[MAXN];
int main()
{
	int n=read_int();
	_rep(i,1,n){
		scanf("%s",buf);
		idx[i]=solver.insert(buf);
	}
	solver.getFail();
	scanf("%s",buf);
	solver.query(buf);
	_rep(i,1,n)
	enter(solver.ans[idx[i]]);
	return 0;
}

例题二

洛谷p2444

题意

给定 $n$ 个 $01$ 串 $S_i$，问是否存在无限长串不含任何 $S_i$。

题解

建立 $\text{AC}$ 自动机标记每个 $S_i$ 的终止节点，然后建 $\text{fail}$ 树，显然所有终止节点在 $\text{fail}$ 树中的子树节点均不能访问，于是将其标记。

最后 $\text{dfs}$ 遍历树，在不经过所有标记节点的前提下判定是否存在可以到达的环。注意为保证时间复杂度 $\text{dfs}$ 遍历后也需要标记节点。

总时间复杂度 $O(\sum_{i=1}^n |S_i|)$。

查看代码

const int MAXS=3e4+5;
struct AC{
	struct Edge{
		int to,next;
	}edge[MAXS<<1];
	int head[MAXS],edge_cnt;
	int ch[MAXS][2],val[MAXS],fail[MAXS],sz;
	void AddEdge(int u,int v){
		edge[++edge_cnt]=Edge{v,head[u]};
		head[u]=edge_cnt;
	}
	void insert(char *s){
		int len=strlen(s),pos=0;
		_for(i,0,len){
			int c=s[i]-'0';
			if(!ch[pos][c]){
				ch[pos][c]=++sz;
				val[sz]=fail[sz]=0;
				mem(ch[sz],0);
			}
			pos=ch[pos][c];
		}
		val[pos]=1;
	}
	void getFail(){
		queue<int> q;
		_for(i,0,2){
			if(ch[0][i])
			q.push(ch[0][i]);
		}
		while(!q.empty()){
			int u=q.front();q.pop();
			_for(i,0,2){
				if(ch[u][i]){
					fail[ch[u][i]]=ch[fail[u]][i];
					q.push(ch[u][i]);
				}
				else ch[u][i]=ch[fail[u]][i];
			}
		}
		_rep(i,1,sz)
		AddEdge(fail[i],i);
	}
	void dfs(int u,int flag){
		val[u]=flag;
		for(int i=head[u];i;i=edge[i].next){
			int v=edge[i].to;
			dfs(v,flag|val[v]);
		}
	}
	bool dfs2(int u){
		val[u]=-1;
		_for(i,0,2){
			if(val[ch[u][i]]==-1)
			return true;
			else if(!val[ch[u][i]]&&dfs2(ch[u][i]))
			return true;
		}
		val[u]=1;
		return false;
	}
	bool query(){
		dfs(0,0);
		return dfs2(0);
	}
}solver;
char buf[MAXS];
int main()
{
	int n=read_int();
	_for(i,0,n){
		scanf("%s",buf);
		solver.insert(buf);
	}
	solver.getFail();
	if(solver.query())
	puts("TAK");
	else
	puts("NIE");
	return 0;
}

例题三

洛谷p2414

题意

给定一个字符串 $S$，只包含小写字母和 $B,P$ 两个大写字母。

当前初始串 $T$ 为空串，扫描 $S$，如果 $s_i$ 为小写字母，则在 $T$ 末尾加入该字母。

如果 $s_i$ 为 $B$，则删除 $T$ 末尾的一个字母。如果 $s_i$ 为 $P$，则打印 $T$ 。

接下来 $q$ 个询问，每次询问第 $i$ 次打印的字符串在第 $j$ 次打印的字符串中出现的次数。

题解

考虑建 $\text{fail}$ 树，记第 $i$ 次打印的字符串的结尾结点为 $p_i$，第 $j$ 次打印的字符串的结尾结点为 $p_j$。

于是该次询问的答案为 $\text{Trie}$ 树中根节点到 $p_j$ 的路径与 $p_i$ 在 $\text{fail}$ 树中的子树的交集的结点个数。

考虑将所有询问离线到 $\text{Trie}$，然后 $\text{dfs}$ 遍历 $\text{Trie}$ 树同时处理询问。

可以利用 $\text{fail}$ 树上的 $\text{dfs}$ 序以及树状数组维护子树，遍历过程中回溯维护链的性质。

时间复杂度 $O((|S|+q)\log |S|)$。

查看代码

const int MAXN=1e5+5;
int idx[MAXN],string_cnt;
struct Edge{
	int to,next;
}edge[MAXN];
int head[MAXN],edge_cnt,dfs_t,L[MAXN],R[MAXN];
void AddEdge(int u,int v){
	edge[++edge_cnt]=Edge{v,head[u]};
	head[u]=edge_cnt;
}
void dfs(int u){
	L[u]=++dfs_t;
	for(int i=head[u];i;i=edge[i].next)
	dfs(edge[i].to);
	R[u]=dfs_t;
}
#define lowbit(x) x&(-x)
struct BIT{
	int c[MAXN];
	void add(int pos,int v){
		while(pos<=dfs_t){
			c[pos]+=v;
			pos+=lowbit(pos);
		}
	}
	int query(int pos){
		int ans=0;
		while(pos){
			ans+=c[pos];
			pos-=lowbit(pos);
		}
		return ans;
	}
}tree;
int ans[MAXN];
vector<pair<int,int> >opt[MAXN];
struct AC{
	int ch[MAXN][26],ch2[MAXN][26],p[MAXN],val[MAXN],fail[MAXN],sz;
	void insert(char *s){
		int len=strlen(s),pos=0;
		_for(i,0,len){
			if(islower(s[i])){
				int c=s[i]-'a';
				if(!ch[pos][c]){
					ch[pos][c]=ch2[pos][c]=++sz;
					p[sz]=pos;
				}
				pos=ch[pos][c];
			}
			else if(s[i]=='B')
			pos=p[pos];
			else{
				val[pos]=1;
				idx[++string_cnt]=pos;
			}
		}
	}
	void getFail(){
		queue<int> q;
		_for(i,0,26){
			if(ch[0][i])
			q.push(ch[0][i]);
		}
		while(!q.empty()){
			int u=q.front();q.pop();
			_for(i,0,26){
				if(ch[u][i]){
					fail[ch[u][i]]=ch[fail[u]][i];
					q.push(ch[u][i]);
				}
				else ch[u][i]=ch[fail[u]][i];
			}
		}
		_rep(i,1,sz)
		AddEdge(fail[i],i);
	}
	void dfs(int u){
		tree.add(L[u],1);
		_for(i,0,opt[u].size()){
			pair<int,int> t=opt[u][i];
			ans[t.first]=tree.query(R[t.second])-tree.query(L[t.second]-1);
		}
		_for(i,0,26){
			if(ch2[u][i])
			dfs(ch2[u][i]);
		}
		tree.add(L[u],-1);
	}
}solver;
char buf[MAXN];
int main()
{
	scanf("%s",buf);
	solver.insert(buf);
	solver.getFail();
	dfs(0);
	int q=read_int(),a,b;
	_rep(i,1,q){
		a=read_int(),b=read_int();
		opt[idx[b]].push_back(make_pair(i,idx[a]));
	}
	solver.dfs(0);
	_rep(i,1,q)
	enter(ans[i]);
	return 0;
}

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