左偏树
算法简介
一种可并堆，支持 $O(\log n)$ 的 $\text{push}$、$\text{pop}$、$\text{merge}$ 操作。
算法思想
定义外节点为左儿子或右儿子为空的节点，$\text{dist}_i$ 表示节点 $i$ 到其子树中最近外节点的距离。
规定空节点的 $\text{dist}$ 为 $-1$。左偏树的定义为对每个节点 $u$ 均满足 $\text{dist}_\text{lson}\ge \text{dist}_\text{rson}$ 的堆。
左偏树有如下性质
- $\text{dist}_u=\text{dist}_\text{rson}+1$
- $\text{dist}_u\sim O(\log \text{sz}_u)$
关于性质一，有 $\text{dist}_u=\max(\text{dist}_\text{lson},\text{dist}_\text{rson})+1=\text{dist}_\text{rson}+1$，证毕。
关于性质二，有 $\text{dist}_u$ 表示节点 $u$ 到其子树中最近外节点的距离，所以有节点 $u$ 的子树的前 $\text{dist}_u$ 层均为非外节点。
所以可将前 $\text{dist}_u$ 层视为满二叉树，第 $\text{dist}_u+1$ 层至少有一个外节点，所以有 $\text{sz}_u\ge 2^{\text{dist}_u}$，证毕。
考虑左偏树的合并操作，类似 $\text{fhq treap}$ 的 $\text{merge}$ 操作，根据优先级(这里是点权)不断合并两棵树，遇到空结点返回。
不同之处在于合并两棵左偏树时对跳左节点还是右节点没有限制，所以强制每次跳右节点，使得 $\text{dist}_u$ 单调递减。
这样，时间复杂度为 $O(\text{dist}_u)=O(\log n)$。
左偏树的另一个核心操作为寻根，事实上寻根操作可以利用路径压缩的并查集优化时间复杂度到 $O(\log n)$，但需要注意一些细节，详细见代码。
代码模板
左偏树的 $\text{pop}$ 操作类似 $\text{fhq treap}$，直接合并被删除节点的左右儿子，但是删除祖先节点会导致并查集出错。
具体解决方案为 root[p]=root[node[p].ch[0]]=root[node[p].ch[1]]=rt ，即把原堆顶元素及其儿子节点的祖先节点指向新根节点。
算法习题
习题一
题意
维护 $n$ 个堆，每个堆一开始只有一个元素，$m$ 个操作。
每次选取两个堆，将堆顶元素减半，然后合并。
题解
修改堆顶元素方法为先合并左右儿子，然后修改堆顶，再次加入。同样要注意并查集的维护。
习题二
题意
给定一个序列 $A$，要求构造一个严格单增序列 $B$，满足 $\sum_{i=1}^n |a_i-b_i|$ 取最小值。
题解
首先将 $a_i$ 变为 $a_i-i$，于是问题转化为构造一个不减序列 $B$。
单独考虑区间 $[x,x]$，显然答案为 $b_x=a_x$。对区间 $C_1[x,y],C_2[y+1,z]$，假设区间 $C_1$ 答案为 $c_1$，区间 $C_2$ 答案为 $c_2$。
若 $c_1\le c_2$，显然不需要修改，若 $c_1\gt c_2$，发现取区间 $[x,z]$ 的中位数作为区间 $[x,z]$ 的答案显然最优。
考虑单调栈维护中位数单调不减的区间，同时左偏堆（大根堆）维护中位数。
对左偏堆弹出一半的数即可得到中位数，可以证明在该算法下该操作不会导致答案错误，时间复杂度 $O(n\log n)$。
习题三
题意
给定一棵以 $1$ 为根的树，每个点拥有属性 $(h_i,a_i,v_i)$。同时给定 $m$ 个士兵，每个士兵初始时在 $s_i$ 号点，且拥有 $c_i$ 点生命。
当士兵 $i$ 处在点 $j$ 时，如果 $c_i\lt h_j$，则该士兵在该点死亡。
否则该士兵生命产生变化。具体得，如果 $a_i=0$ 则士兵生命增加 $v_i$，如果 $a_i=1$ 则士兵生命乘以 $v_i$。
如果士兵未死亡，则士兵通过当前结点且继续前往该结点的父节点。
询问每个结点死亡的士兵数和每个士兵最终通过的结点数。数据保证士兵任意时刻生命值不爆 $\text{long long}$ 且如果 $a_i=1$ 则 $v_i\gt 0$。
题解
考虑 $\text{dfs}$ 遍历城市，左偏树合并子节点士兵信息，每次弹出堆顶所有 $c\lt h$ 的结点，同时更新答案。
对于修改操作，类似线段树懒标记处理即可。由于 $a_i=1$ 时保证 $v_i\gt 0$，所有结点的相对大小不改变，所有懒标记处理可以保证正确性。
合并操作总复杂度 $(n\log m)$，弹出操作总复杂度 $O(m\log m)$，修改操作总时间复杂度 $O(n)$。于是总时间复杂度 $O((n+m)\log m)$。
