数据结构优化建图

算法例题

例题一

CF786B

题意

$n$ 个点的有向图。给定 $3$ 中连边方式，分别为：

$u$ 向 $v$ 连一条边权为 $w$ 的边
$u$ 向 $[l,r]$ 每个节点连一条边权 $w$ 的边
$[l,r]$ 向 $u$ 每个节点连一条边权 $w$ 的边

给定源点 $s$，询问单点源最短路。

题解

考虑建两棵线段树，每棵线段树均维护区间 $[1,n]$。

第一棵线段树每个父结点向它的子节点连一条权值为 $0$ 的边，这样 $u$ 向线段树中的 $v$ 连边等价于 $u$ 向 $v$ 的子树连边。

第二棵线段树每个子结点向它的父结点连一条权值为 $0$ 的边，这样线段树中的 $v$ 向 $u$ 连边等价于 $v$ 的子树向 $u$ 连边。

考虑这两棵线段树共享叶子结点，同时用每个叶子结点代表原图中的 $[1,n]$ 结点，于是操作 $2,3$ 转化为 $O(\log n)$ 的连边操作。

最后跑最短路算法，时间复杂度 $O(m\log^2 n)$。

查看代码

const int MAXN=1e5+5;
const LL Inf=1e18;
struct Edge{
	int to,w,next;
}edge[MAXN*30];
int head[MAXN<<3],edge_cnt;
void Insert(int u,int v,int w){
	edge[++edge_cnt]=Edge{v,w,head[u]};
	head[u]=edge_cnt;
}
template <typename T>
struct dijkstra{
	T dis[MAXN<<3];
	bool vis[MAXN<<3];
	priority_queue<pair<T,int>,vector<pair<T,int> >,greater<pair<T,int> > >q;
	void solve(int src,int n){
		mem(vis,0);
		_rep(i,1,n)
		dis[i]=Inf;
		dis[src]=0;
		q.push(make_pair(dis[src],src));
		while(!q.empty()){
			pair<T,int> temp=q.top();q.pop();
			int u=temp.second;
			if(vis[u])
			continue;
			vis[u]=true;
			for(int i=head[u];i;i=edge[i].next){
				int v=edge[i].to;
				if(dis[v]>edge[i].w+dis[u]){
					dis[v]=edge[i].w+dis[u];
					q.push(make_pair(dis[v],v));
				}
			}
		}
	}
};
dijkstra<LL> solver;
int lef[MAXN<<2],rig[MAXN<<2],Tree1[MAXN<<2],Tree2[MAXN<<2],node_cnt;
void build(int k,int L,int R){
	lef[k]=L,rig[k]=R;
	int M=L+R>>1;
	if(L==R){
		Tree1[k]=Tree2[k]=M;
		return;
	}
	Tree1[k]=++node_cnt,Tree2[k]=++node_cnt;
	build(k<<1,L,M);
	build(k<<1|1,M+1,R);
	Insert(Tree1[k],Tree1[k<<1],0);Insert(Tree1[k],Tree1[k<<1|1],0);
	Insert(Tree2[k<<1],Tree2[k],0);Insert(Tree2[k<<1|1],Tree2[k],0);
}
void AddEdge1(int k,int L,int R,int v,int w){
	if(L<=lef[k]&&rig[k]<=R)
	return Insert(v,Tree1[k],w);
	int mid=lef[k]+rig[k]>>1;
	if(mid>=L)
	AddEdge1(k<<1,L,R,v,w);
	if(mid<R)
	AddEdge1(k<<1|1,L,R,v,w);
}
void AddEdge2(int k,int L,int R,int v,int w){
	if(L<=lef[k]&&rig[k]<=R)
	return Insert(Tree2[k],v,w);
	int mid=lef[k]+rig[k]>>1;
	if(mid>=L)
	AddEdge2(k<<1,L,R,v,w);
	if(mid<R)
	AddEdge2(k<<1|1,L,R,v,w);
}
void Init(int n){
	node_cnt=n;
	build(1,1,n);
}
int main()
{
	int n=read_int(),m=read_int(),s=read_int();
	Init(n);
	while(m--){
		int type=read_int();
		if(type==1){
			int u=read_int(),v=read_int(),w=read_int();
			Insert(u,v,w);
		}
		else{
			int v=read_int(),l=read_int(),r=read_int(),w=read_int();
			if(type==2)
			AddEdge1(1,l,r,v,w);
			else
			AddEdge2(1,l,r,v,w);
		}
	}
	solver.solve(s,node_cnt);
	_rep(i,1,n)
	space(solver.dis[i]==Inf?-1:solver.dis[i]);
	return 0;
}

例题二

洛谷p6348

题意

$n$ 个点的无向图。给定中连边方式 $(a,b,c,d)$ 表示编号为 $[a,b]$ 的点与编号为 $[c,d]$ 的点之间连一条边权为 $1$ 的边。

求单点源最短路。

题解

这里仅考虑单向边，双边边等价于两条单向边。

事实上，只需要建立虚点 $u,v$，然后 $[a,b]\to u$ 和 $v\to [c,d]$ 连一条边权为 $0$ 的边，然后 $u\to v$ 连一条边权为 $1$ 的边即可。

建完图 $01\text{bfs}$ 即可，时间复杂度 $O(m\log n)$。

查看代码

const int MAXN=5e5+5,Inf=1e9;
struct Edge{
	int to,w,next;
}edge[MAXN*20];
int head[MAXN*10],edge_cnt;
void Insert(int u,int v,int w){
	edge[++edge_cnt]=Edge{v,w,head[u]};
	head[u]=edge_cnt;
}
int lef[MAXN<<2],rig[MAXN<<2],Tree1[MAXN<<2],Tree2[MAXN<<2],node_cnt;
void build(int k,int L,int R){
	lef[k]=L,rig[k]=R;
	int M=L+R>>1;
	if(L==R){
		Tree1[k]=Tree2[k]=M;
		return;
	}
	Tree1[k]=++node_cnt,Tree2[k]=++node_cnt;
	build(k<<1,L,M);
	build(k<<1|1,M+1,R);
	Insert(Tree1[k],Tree1[k<<1],0);Insert(Tree1[k],Tree1[k<<1|1],0);
	Insert(Tree2[k<<1],Tree2[k],0);Insert(Tree2[k<<1|1],Tree2[k],0);
}
void AddEdge1(int k,int L,int R,int v,int w){
	if(L<=lef[k]&&rig[k]<=R)
	return Insert(v,Tree1[k],w);
	int mid=lef[k]+rig[k]>>1;
	if(mid>=L)
	AddEdge1(k<<1,L,R,v,w);
	if(mid<R)
	AddEdge1(k<<1|1,L,R,v,w);
}
void AddEdge2(int k,int L,int R,int v,int w){
	if(L<=lef[k]&&rig[k]<=R)
	return Insert(Tree2[k],v,w);
	int mid=lef[k]+rig[k]>>1;
	if(mid>=L)
	AddEdge2(k<<1,L,R,v,w);
	if(mid<R)
	AddEdge2(k<<1|1,L,R,v,w);
}
void Init(int n){
	node_cnt=n;
	build(1,1,n);
}
int dis[MAXN*10];
int main()
{
	int n=read_int(),m=read_int(),s=read_int();
	Init(n);
	while(m--){
		int a=read_int(),b=read_int(),c=read_int(),d=read_int(),u,v;
		u=++node_cnt,v=++node_cnt;
		AddEdge2(1,a,b,u,0);
		AddEdge1(1,c,d,v,0);
		Insert(u,v,1);
		u=++node_cnt,v=++node_cnt;
		AddEdge2(1,c,d,u,0);
		AddEdge1(1,a,b,v,0);
		Insert(u,v,1);
	}
	_rep(i,1,node_cnt)dis[i]=Inf;
	deque<int> q;
	dis[s]=0;
	q.push_back(s);
	while(!q.empty()){
		int u=q.front();q.pop_front();
		for(int i=head[u];i;i=edge[i].next){
			int v=edge[i].to;
			if(dis[u]+edge[i].w<dis[v]){
				dis[v]=dis[u]+edge[i].w;
				if(edge[i].w)q.push_back(v);
				else q.push_front(v);
			}
		}
	}
	_rep(i,1,n)
	enter(dis[i]);
	return 0;
}

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