矩阵树定理
算法简介
一种生成树的计数定理，时间复杂度 $O\left(n^3\right)$。
算法实现
无向图
定义生成树的权值为所有该生成树中所有边权的乘积，则有如下结论：
邻接矩阵 $D$ 中 $d_{i,i}=$ 所有与节点 $i$ 相连的边的权值和，$d_{i,j}=0(i\neq j)$。
邻接矩阵 $L$ 中 $d_{i,j}=edge[i][j].w$ (注意无向图中 $d_{i,j}=d_{j,i}$)。
记基尔霍夫矩阵 $K=D-L$，$K'$ 为 $K$ 去掉第 $i$ 行与第 $i$ 列得到的余子式($i$ 可以任取)。
则有 $det(K')=$ 所有生成树的权值和。特别地，当所有边权为 $1$ 时所有生成树的权值和等于生成树个数。
有向图
邻接矩阵 $L$ 定义不变(但要注意边的有向性)。
如果邻接矩阵 $D$ 中 $d_{i,i}=$ 节点 $i$ 的所有入边的权值和。
记 $K'$ 为$K$ 去掉第 $i$ 行与第 $i$ 列得到的余子式，则 $det(K')=$ 所有以节点 $i$ 为根的外向树(边从根指向叶子节点)的权值和。
如果邻接矩阵 $D$ 中 $d_{i,i}=$ 节点 $i$ 的所有出边的权值和。
记 $K'$ 为$K$ 去掉第 $i$ 行与第 $i$ 列得到的余子式，则 $det(K')=$ 所有以节点 $i$ 为根的内向树(边从叶子节点指向根)的权值和。
代码模板
给定一个 $n$ 个节点 $m$ 条带权边的图，输入 $t$ 表示图是否为有向图。
求其所有不同生成树的权值之和(如果是有向图，则求以 $1$ 为根的外向树)，对 $10^9+7$ 取模。
算法练习
习题一
题意
给定一个 $n$ 个点的完全图，表示 $n$ 个城市，该地区经过了一场洪水，城市之间的道路受损。
输入一个 $n\times n$ 矩阵，矩阵元素 $p_{i,j}$ 表示城市 $i,j$ 之间道路依然连通的概率。
问经过洪水后该地区所有道路恰好构成一棵树的概率。
输入保证 $p_{i,j}=p_{j,i},p_{i,i}=0$。
题解
若将 $p_{i,j}$ 作为边 $i,j$ 的权值套用矩阵树定理，设 $E$ 为总边集 $T$ 为生成树边集，则有
\begin{equation}P=\sum_T\prod_{e\in E-T}(1-p_e)\prod_{e\in T}p_e=\prod_{e\in E}(1-p_e)\sum_T\prod_{e\in T}\frac {p_e}{1-p_e}\end{equation}
最后关于 $p_e=1$ 的情况，可以考虑缩点，或者令 $p_e=1-\varepsilon$。
习题二
题意
现在给出了一个简单无向加权图，求这个图中有多少个不同的最小生成树，结果对 $31011$ 的模。
性质
- 如果 $A,B$ 都是 $G$ 的最小生成树，则将 $A,B$ 中所有边权从小到大排序，将得到相同结果。
- 如果 $A,B$ 都是 $G$ 的最小生成树，则删去 $A,B$ 中权值超过 $w$ 的边后，$A,B$ 图连通性完全相同。( $w$ 取值任意)
证明
对性质一，将 $A,B$ 中所有边按边权从小到大排序，得 $a_1,a_2,\cdots a_n$ 和 $b_1,b_2,\cdots b_n$。
考虑 $A,B$ 第一次出现边不相同的位置，有 $a_i\neq b_i$，不妨设 $w(a_i)\ge w(b_i)$。
情况一：存在 $a_j=b_i$，则有 $j\gt i,w(b_i)=w(a_j)\ge w(a_i)\ge w(b_i)$。
所以有 $w(a_i)=w(b_i)=w(a_j)$，交换 $a_i,a_j$，序列 $\{w(a)\}$ 不改变。
情况二：不存在 $a_j=b_i$，考虑把 $b_i$ 加入 $A$，得到一个环，由于 $A$ 是最小生成树，故环上所有边权不超过 $w(b_i)$。
同时环上一定有某条边不属于 $B$，否则 $B$ 上存在环，不妨记这条边为 $a_j$。
则有 $j\gt i,w(b_i)\ge w(a_j)\ge w(a_i)\ge w(b_i)$，所以有 $w(a_i)=w(b_i)=w(a_j)$。
考虑把边 $a_j$ 换成 $b_i$，然后交换 $a_i,a_j$ 的在序列中位置，序列 $\{w(a)\}$ 不改变。
最后总有序列 $\{a\},\{b\}$ 完全相同，于是有初始的 $\{w(a)\}$ 与 $\{w(b)\}$ 完全相同，证毕。
对性质二，只能给出不太严谨的证明。考虑 $\text{Kruskal}$ 算法过程。
由于 $\text{Kruskal}$ 中权值相同的边排序任意，说明按任意顺序考虑权值相同的边，都不会影响后续结果。
所有相同权值的边选取结束后，图的连通性必然相同，证毕。
题解
从小到大考虑每个不同的边权。考虑某个边权 $w$，记所有边权相同的边为边集 $E_w$。
根据性质二，所有边权小于 $w$ 的边选择完成后图的连通性是确定的。于是对选择完成后的图进行缩点，然后计算从边集 $E_w$ 中选边的合法方案。
计算合法方案时发现即使选择完边集 $E_w$ 中的边后也不能保证图是树，所以如果直接使用矩阵树定理将返回 $0$。
于是考虑添加一些虚边保证合法选取 $E_w$ 中的边后图形一定是树。
由于合法选取 $E_w$ 中的边后图的连通性也是确定的，所以可以考虑在合法选取 $E_w$ 中的边后图中加入一些虚边使得图恰好连通。
发现将任意某个最小生成树中所有权值大于 $w$ 作为虚边加入图中恰好能满足条件，然后使用矩阵树定理即可计算方案数。
最终答案即为所有不同的边权的选择方案的乘积。
但题目给定的 $31011$ 并不是素数，所以计算行列式的消元过程中不能直接计算逆元。
考虑在消元过程中模拟辗转相除法。但辗转相除法只对两个数操作，而消元需要对两行所有数操作。计算行列式复杂度变为 $O(n^3\log v)$。
考虑在辗转相除过程中维护系数，即维护 $i'=ai+bj,j'=ci+dj$，可以将计算行列式复杂度降为 $O(n^3)$。
最后发现每次消元中 $n=$ 连通块个数 $=$ 最小生成树 $T$ 中边权为 $w$ 的边的个数 $\text{cnt}_w$，于是总时间复杂度为
\begin{equation}O\left(\sum_{w\in T}\text{cnt}_w^3\right)=O(|T|^3)=O(n^3)\end{equation}
