线性基
算法简介
一个用长度为 $\log v$ 的数组维护值域为 $[1,v]$ 的序列的异或和的数据结构。
插入一个值和查询第 $k$ 小值的时间复杂度均为 $O(\log v)$。
算法思想
线性基本质就是高斯消元，把需要维护的序列的所有数用二进制表示，得到一组 $\log v$ 维的向量组。
把正常的向量加法改成向量异或，进行高斯消元，得到一组极大无关组，将极大无关组的向量成为线性基。
线性基具有如下性质：
性质一：由于极大无关组可以表示向量组的所有向量，所以可以用极大无关组替代原来的向量组来维护异或和。
性质二：由极大无关组的性质知，用 $k$ 个极大无关组中的向量可以组合出 $2^{k}-1$ 个不同的异或和(不包括 $0$)。
考虑一个问题：求第 $k$ 小的异或和。
先将极大无关组从大到小排好(这里大小是指向量代表的二进制数的大小)，依次决定是否选择该数。
如果能保证当前面的选择相同时，选择该数一定比不选择该数的异或和大，再利用性质二，可以很容易得出第 $k$ 小异或和。
只要再将极大无关组的矩阵转化为行最简矩阵，便可以满足上述条件。
实现细节稍有不同，具体见代码。
代码模板
namespace LB{//异或和从小到大排名 const int MAXL=63; LL p1[MAXL],p2[MAXL],p3[MAXL]; int rk; void insert(LL x){ for(int i=MAXL-1;i>=0;i--){ if((x>>i)&1){ if(p1[i]) x^=p1[i]; else return p1[i]=x,void(); } } } LL query(LL x){ for(int i=MAXL-1;i>=0;i--){ if((x^p1[i])>x) x^=p1[i]; } return x; } void rebuild(){ for(int i=MAXL-1;i>=0;i--){ for(int j=i-1;j>=0;j--) if((p1[i]>>j)&1) p1[i]^=p1[j]; } _for(i,0,MAXL) if(p1[i]) p2[rk]=p1[i],p3[rk++]=i; } LL kth(LL k){//第k小 if(k>=(1LL<<rk)) return -1; LL ans=0; for(int i=MAXL-1;i>=0;i--){ if((k>>i)&1) ans^=p2[i]; } return ans; } LL rank(LL x){//查询x的排名,必须保证存在异或和等于x LL ans=0; _for(i,0,rk) if((x>>p3[i])&1) ans+=1LL<<i; return ans; } };
代码练习
练习题一
题意
一开始 $k$ 堆火柴，每堆火柴中有若干根火柴，两人轮流取火柴。
每人第一次取火柴时都可以取若干堆火柴，也可以不取，但不能把所有火柴都拿走。
接下来每人每次只能取一堆火柴中的若干根火柴，但不能不取。取走最后一根火柴的人获胜。
问先手一开始至少要取多少根火柴才能保证必胜。
题解
没学过 Nim 游戏先学了再来看这题。
只需要保证第一回合后手者取过火柴后火柴堆异或和非零即可。
这等价于先手者第一回合取过火柴后剩下的火柴堆数值代表的二进制向量构成线性无关组。
一开始取最少的火柴即要求线性无关组数值和最大。
事实上线性无关组满足交换性质和遗传性质，所以可以直接套拟阵模型。
练习题二
题意
一棵点权树，$q$ 次询问，每次询问从结点 $u$ 到结点 $v$ 的路径上选取若干点得到的最大异或和为多少。
题解
求最大异或和显然是用线性基，考虑合并两条路径信息只需要合并两个线性基，时间复杂度 $O\left(\log^2 v\right)$，其中 $v$ 为点权上限。
一种方法为利用倍增求 $LCA$ 的方法暴力合并路径信息，时间复杂度 $O\left((n+q)\log n \log^2 v\right)$。
另一种比较好的方法为点分治，时间复杂度$O\left((q+n\log v)\log n + q\log^2 v\right)$。
练习题三
题意
给定一个正整数序列 $\text{A}$，将它的所有子集(包括空集)的异或和结果排序，得到序列 $\text{B}$。
问某个数在序列 $\text{B}$ 中第一次出现的下标是多少？(保证该数在序列中一定存在)
题解
给出线性基性质三：设线性基秩为 $k$，则线性基所能表示的异或和在序列 $\text{B}$ 中的出现次数均为 $2^{|\text{A}|-k}$。
证明：不妨设构成线性基的数的集合为 $\text{P}$，数集 $\text{C}\subset \text{A}-\text{P}$。
对任意 $v\in \text{B}$，知 $v$ 和数集 $\text{C}$ 全体数的异或和一定能表示用数集 $\text{P}$ 的子集的异或和表示。
即 $v$ 可以被数集 $\text{C}$ 和数集 $\text{P}$ 的某个子集的全体数的异或和表示。
由于数集 $\text{C}$ 没有约束条件，故数集 $\text{C}$ 的选择有 $2^{|\text{A}|-k}$种。
即对每个 $v\in \text{B}$，至少可以被 $2^{|\text{A}|-k}$个子集可以表示。
又因为 $|\text{B}|\ast 2^{|\text{A}|-k} = 2^{|\text{A}|}$，说明对每个 $v\in \text{B}$，恰好可以被 $2^{|\text{A}|-k}$个子集可以表示。
性质三证毕。
有了性质三，这题就没什么难度了，直接上代码。
练习题四
题意
给定一个连通图，每条路径的权值为该路径所有边的权值的异或和(路径中同一条边重复出现将重复计算贡献)。求结点 $1\sim n$ 的路径的最大异或和。
题解
考虑路径的情况一定是一条 $1\sim n$ 的简单路径(即一条边最多走一次)，再包含一些分支，每个分支经过一个环后返回。
发现每条分支经过两次，于是不计算贡献，所以只包含了环的贡献，而由于图连通所以所有环的贡献都可以被计入。
考虑 $\text{dfs}$ 过程中记录当前路径前缀异或和以及访问标记，得到 $\text{dfs}$ 树和若干返祖边。
有结论任意简单环可以由若干只含一条返祖边的环通过异或得到。
$O(n+m\log n)$ 得到所有只含一条返祖边的环的贡献，最后线性基即可得到答案。
最后发现一开始随意选择一条 $1\sim n$ 的路径即可，因为如果该路径不是最优，则可以通过与环异或修改为最优路径。
