莫队算法
普通莫队
算法模型
只有询问操作，共 $m$ 个询问，每个询问操作都是一个区间 $[l_i,r_i]$。询问区间范围为 $[1,n]$。
可以 $O(1)$ 根据当前维护区间 $[l,r]$ 更新到 $[l-1,r],[l,r+1],[l+1,r],[l,r-1]$。
则利用莫队可以 $O(n\sqrt m)$ 离线处理所有询问。
算法实现
先对 $[1,n]$ 进行分块，假设每块长度为 $S$。先将 $kS\lt l_i\le (k+1)S$ 的询问丢到同一个块。
对同一个块，根据 $r_i$ 排序，然后依次处理排完序的每个询问，同时用两个指针维护当前区间。
首先对每个块，$r_i$ 单调，于是每个块移动右指针的复杂度为 $O(n)$，移动右指针的总复杂度为 $O\left(\frac {n^2}S\right)$。
同时每个左指针每次只能在所在块中移动，于是每个询问左指针的复杂度为 $O(S)$，移动左指针的总复杂度为 $O(mS)$。
于是总复杂度为 $O\left(\frac {n^2}S+mS\right)$，令 $S\sim O\left(\frac n{\sqrt m}\right)$，则总复杂度为 $O(n\sqrt m)$。
注意 每次移动指针时要先拓展指针对应的区间再缩减指针对应区间，否则对应区间长度可能会变成负数产生各种 $\text{bug}$。
算法例题
题意
给定一个长度为 $n$ 的序列，每个询问给定一个区间 $[l_i,r_i]$，询问从该区间的序列中任意取两个数，这两个数相同的概率。
题解
双指针维护区间中的每个值的个数，同时维护当前所有使得两数相同的方案数即可。
算法优化
利用奇偶化排序，即奇数块按 $r_i$ 从小到大排序，偶数块 $r_i$ 从大到小排序。
于是可以减少从一个块转移到另一个块时 $r_i$ 的移动次数，具体代码如下
struct query{ int l,r,idx; bool operator < (const query &b)const{ if(l/blk_sz!=b.l/blk_sz)return l<b.l; return ((l/blk_sz)&1)?(r<b.r):(r>b.r); } };
