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2020-2021:teams:legal_string:jxm2001:莫队算法_2

这是本文档旧的修订版!


莫队算法 2

树上莫队

算法模型

树上单点修改 $+$ 树上路径查询,且路径难以用树剖维护。

算法实现

考虑先将树转化为括号序列,设结点 $u$ 对应的左括号编号为 $\text{dfn}_{1u}$,右括号编号为 $\text{dfn}_{2u}$。

对当前维护的括号序列区间 $[l,r]$,仅计算 $[l,r]$ 中未匹配的括号代表的结点的贡献。

即某个结点第奇数次出现时加上该结点的贡献,第偶数次出现时减去该结点贡献。

于是对每个询问路径 $u\to v$,不妨设 $\text{dfn}_{1u}\le \text{dfn}_{1v}$。

如果 $u$ 为 $v$ 的祖先,则路径对应区间为 $[\text{dfn}_{2u},\text{dfn}_{1v}]$。

否则路径对应区间为 $[\text{dfn}_{2u},\text{dfn}_{1v}] + \text{LCA}(u,v)$。

对于修改操作,如果修改的点在当前区间中且出现奇数次,则考虑更新答案,否则直接更新该点权值即可。

算法例题

题意

给定一棵树,树上每个点有一种颜色,总共有 $m$ 种颜色。同时给定序列 $\{v_i\},\{w_i\}$。

要求支持单点颜色修改操作和路径权值查询操作。设一条路径上颜色为 $i$ 的颜色出现了 $c_i$ 次,则该路径的权值为

$$ \sum_{i=1}^mv_i\sum_{j=1}^{c_i}w_j $$

题解

树上莫队板子题。

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const int MAXN=1e5+5,MAXC=1e6+5;
int blk_sz;
struct Edge{
	int to,next;
}edge[MAXN<<1];
int head[MAXN],edge_cnt,dfn1[MAXN],dfn2[MAXN],invn[MAXN<<1],dfs_t;
void AddEdge(int u,int v){
	edge[++edge_cnt]=Edge{v,head[u]};
	head[u]=edge_cnt;
}
void dfs(int u,int fa){
	dfn1[u]=++dfs_t;
	invn[dfs_t]=u;
	for(int i=head[u];i;i=edge[i].next){
		int v=edge[i].to;
		if(v==fa)continue;
		dfs(v,u);
	}
	dfn2[u]=++dfs_t;
	invn[dfs_t]=u;
}
namespace LCA{
	int d[MAXN],sz[MAXN],f[MAXN];
	int h_son[MAXN],mson[MAXN],p[MAXN];
	void dfs_1(int u,int fa,int depth){
		sz[u]=1;f[u]=fa;d[u]=depth;mson[u]=0;
		for(int i=head[u];i;i=edge[i].next){
			int v=edge[i].to;
			if(v==fa)
			continue;
			dfs_1(v,u,depth+1);
			sz[u]+=sz[v];
			if(sz[v]>mson[u])
			h_son[u]=v,mson[u]=sz[v];
		}
	}
	void dfs_2(int u,int top){
		p[u]=top;
		if(mson[u])dfs_2(h_son[u],top);
		for(int i=head[u];i;i=edge[i].next){
			int v=edge[i].to;
			if(v==f[u]||v==h_son[u])
			continue;
			dfs_2(v,v);
		}
	}
	void init(int root){dfs_1(root,0,0);dfs_2(root,root);}
	int query(int u,int v){
		while(p[u]!=p[v]){
			if(d[p[u]]<d[p[v]])swap(u,v);
			u=f[p[u]];
		}
		return d[u]<d[v]?u:v;
	}
};
struct query{
	int l,r,t,idx;
	bool operator < (const query &b)const{
		if(l/blk_sz!=b.l/blk_sz)return l<b.l;
		if(r/blk_sz!=b.r/blk_sz)return ((l/blk_sz)&1)?(r<b.r):(r>b.r);
		return ((r/blk_sz)&1)?(t<b.t):(t>b.t); 
	}
}q[MAXN];
struct opt{
	int pos,pre,now;
}p[MAXN];
int cc[MAXN],lc[MAXN],val[MAXN],w[MAXN];
int col[MAXN],qn,pn,lef=1,rig=0;
LL ans[MAXN],cur_ans;
bool vis[MAXN];
void update_ans(int idx,int c){
	if(!vis[idx])
	cur_ans+=1LL*val[c]*w[++col[c]];
	else
	cur_ans-=1LL*val[c]*w[col[c]--];
	vis[idx]=!vis[idx];
}
void update_val(opt &p){
	if(vis[p.pos]){
		update_ans(p.pos,cc[p.pos]);
		cc[p.pos]=p.now;
		update_ans(p.pos,cc[p.pos]);
	}
	else
	cc[p.pos]=p.now;
	swap(p.pre,p.now);
}
int main()
{
	int n=read_int(),m=read_int(),q0=read_int();
	blk_sz=pow(n,2.0/3);
	_rep(i,1,m)val[i]=read_int();
	_rep(i,1,n)w[i]=read_int();
	_for(i,1,n){
		int u=read_int(),v=read_int();
		AddEdge(u,v);
		AddEdge(v,u);
	}
	_rep(i,1,n)cc[i]=lc[i]=read_int();
	LCA::init(1);
	dfs(1,0);
	while(q0--){
		int type=read_int();
		if(type==0){
			pn++;
			int pos=read_int(),v=read_int();
			p[pn].pos=pos,p[pn].pre=lc[pos],p[pn].now=(lc[pos]=v);
		}
		else{
			qn++;
			int u=read_int(),v=read_int();
			if(dfn1[u]>dfn1[v])swap(u,v);
			if(LCA::query(u,v)==u)
			q[qn].l=dfn1[u],q[qn].r=dfn1[v];
			else
			q[qn].l=dfn2[u],q[qn].r=dfn1[v];
			q[qn].t=pn,q[qn].idx=qn;
		}
	}
	sort(q+1,q+qn+1);
	int tim=0;
	_rep(i,1,qn){
		while(lef>q[i].l)lef--,update_ans(invn[lef],cc[invn[lef]]);
		while(rig<q[i].r)rig++,update_ans(invn[rig],cc[invn[rig]]);
		while(lef<q[i].l)update_ans(invn[lef],cc[invn[lef]]),lef++;
		while(rig>q[i].r)update_ans(invn[rig],cc[invn[rig]]),rig--;
		while(tim<q[i].t)update_val(p[++tim]);
		while(tim>q[i].t)update_val(p[tim--]);
		int u=invn[q[i].l],v=invn[q[i].r],p=LCA::query(u,v);
		if(u==p)
		ans[q[i].idx]=cur_ans;
		else{
			update_ans(p,cc[p]);
			ans[q[i].idx]=cur_ans;
			update_ans(p,cc[p]);
		}
	}
	_rep(i,1,qn)
	enter(ans[i]);
	return 0;
}

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