牛客练习赛85
F - 音游家的谱面(Hard version)
题意
给定 $n$ 条轨道和一个含有 $m$ 个音符的谱，每个音符出现的轨道为 $p_i$。
玩家有两个手指，一开始分别位于轨道 $1$ 和轨道 $n$ 的底部，且两个手指每秒可以向左右移动一格。
玩家的任务是在音符恰好到达底部时用手指敲击音符。
现要求构造每个音符到达底部的时刻，使得谱中每个音符依次出现的时刻不早于上一个音符，且玩家可以顺利完成任务。
要求最小化最后一个音符达到底部的时刻，如果有多种方案，任意输出一种即可。$(n,m\le 5000)$
题解
设 $f(i,j)$ 表示第 $i$ 个音符到达底部且一只手位于 $p_i$ 且另一只手位于 $j$ 的最小时刻，于是有状态转移
$$ f(i,j)\gets f(i-1,k)+|p_i-p_{i-1}|(|j-k|\le |p_i-p_{i-1}|) $$
$$ f(i,j)\gets f(i-1,k)+|p_i-k|(|j-p_{i-1}|\le |p_i-k|) $$
暴力做法时间复杂度 $O(n^2m)$，方案输出用回溯即可。
考虑线段树优化，枚举 $k$ 然后更新特定范围的 $f(i,j)$。线段树只需要维护区间最值操作和单点查询操作，时间复杂度 $O(nm\log n)$。
该复杂度实际上已经可能可以通过本题(如果卡常技巧优秀)，但实际上存在进一步优化。
不难看出第一种转移式可以用单调队列优化。
第二种转移式预处理出 $t=0\sim n-1$ 时 $\min(f(i-1,k)+|p_i-k|(t\le |p_i-k|))$ 的结果，然后枚举 $j$ 然后根据 $|j-p_{i-1}|$ 直接查询即可。
时间复杂度优化为 $O(nm)$。
教训：本人一开始想出的转移式如下所示。
$$ f(i,j)= \min(f(i-1,k)+\min(\max(|p_i-p_{i-1}|,|j-k|),\max(|p_i-k|,|j-p_{i-1}|))) $$
只能用线段树做到 $O(nm\log n)$，实现复杂且没法进一步优化，以后应该在填表法比较复杂时考虑刷表法。
