牛客练习赛87
C - 牛老板
题意
用最少的 $6^k,9^k$ 表示 $n$。$(1\le n\le 10^{12})$
题解
预处理 $n\lt 10^6$ 的答案，然后启发式搜索。
const LL MAXV=1e12+5,MAXN=1e6;
vector<LL> vec;
LL dp[MAXN];
void Init(){
vec.push_back(1);
LL base=6;
while(base<MAXV){
vec.push_back(base);
base*=6;
}
base=9;
while(base<MAXV){
vec.push_back(base);
base*=9;
}
sort(vec.begin(),vec.end());
_for(i,1,MAXN){
dp[i]=i;
for(int v:vec){
if(v<=i)
dp[i]=min(dp[i],dp[i-v]+1);
else
break;
}
}
}
LL ans;
void dfs(LL x,int pos,int step){
if(x<MAXN){
ans=min(ans,dp[x]+step);
return;
}
if(pos==0){
ans=min(ans,x+step);
return;
}
LL m=x/vec[pos];
for(int i=m;i>=0;i--){
if(m+step>=ans)return;
dfs(x-i*vec[pos],pos-1,step+i);
}
}
int main()
{
Init();
int T=read_int();
while(T--){
LL x=read_LL();
ans=1e9;
dfs(x,vec.size()-1,0);
enter(ans);
}
return 0;
}
D - 小G的排列-加强版
题意
求不存在某个长度超过 $m$ 的连续子串恰好是 $i,i+1,i+2\cdots i+k-1$ 或 $i+k-1,i+k-2\cdots i$ 的 $1\sim n$ 的排列的个数。
数据保证 $m\ge \lfloor \frac n2\rfloor$。
题解
称 $i,i+1,i+2\cdots i+k-1$ 或 $i+k-1,i+k-2\cdots i$ 为长度等于 $k$ 的非法子串。
显然，当 $m\ge \lfloor \frac n2\rfloor$ 时任意一个排列不存在两个不相交的长度超过 $m$ 的非法子串。
设 $f(n,m)$ 表示所有 $1\sim n$ 的排列包含的长度为 $m$ 的非法子串个数。
考虑非法子串的元素选中，共 $n-m+1$ 种，然后将非法子串当成一个元素和其他正常元素可以任意排列，因此有 $(n-m+1)$ 排列方式。
最后 $m$ 超过 $1$ 时还要考虑 $i,i+1,i+2\cdots i+k-1$ 或 $i+k-1,i+k-2\cdots i$ 不同的贡献，于是有
$$
f(n,m)=(n-m+1)(n-m+1)!(1+(m\neq 1))
$$
最后，考虑每个含有长度超过 $m$ 的非法子串的排列，假设他含有的最长非法子串长度为 $k$，则他对 $f(n,m+1)$ 的计数贡献为 $k-m$。
同时他对 $f(n,m+2)$ 的计数贡献为 $k-m-1$。于是每个含有长度超过 $m$ 的非法子串的排列对 $f(n,m+1)-f(n,m+2)$ 的贡献恰好为 $1$。
于是 $f(n,m+1)-f(n,m+2)$ 就等于所有含有长度超过 $m$ 的非法子串的排列个数。根据容斥，答案为 $n!-f(n,m+1)+f(n,m+2)$。
const int MAXN=1e7+5,mod=1e9+7;
int frac[MAXN];
void Init(){
frac[0]=1;
_for(i,1,MAXN)
frac[i]=1LL*frac[i-1]*i%mod;
}
int cal(int n,int m){
if(m>n)
return 0;
else
return (1LL+(m!=1))*(n-m+1)%mod*frac[n-m+1]%mod;
}
int main()
{
Init();
int T=read_int();
while(T--){
int n=read_int(),m=read_int();
int ans=(frac[n]-(cal(n,m+1)-cal(n,m+2)))%mod;
enter((ans+mod)%mod);
}
return 0;
}
F - 简洁的题面
题意
$$
\sum_{i_1=0}^n\sum_{i_2=0}^n\cdots \sum_{i_k=0}^n\sum_{d=1}^g[d\ast(i_1+i_2+\cdots i_k)\le n]\prod_{j=1}^k{n-d\ast \sum_{h=1}^{j-1}i_h\choose d\ast i_j}
$$
$1\le g,k\le 3,n\le 10^9$
题解
化简，得上式等于
$$
\sum_{d=1}^g\sum_{i_1+i_2+\cdots +i_k\le n}[d\mid i_1,d\mid i_2\cdots d\mid i_k]\frac {n!}{(i_1)!(i_2)!\cdots (i_k)!(n-i_1-i_2-\cdots i_k)!}
$$
由于 $g$ 很小，可以暴力枚举 $d$，对固定的 $d$，相当于查询长度为 $n$ 的 $k+1$ 重集排列的个数，满足前 $k$ 种元素出现次数都是 $d$ 的倍数。
设 $\text{dp}(n,i_1,i_2\cdots i_k)$ 表示长度为 $n$ 的 $k+1$ 重集排列的个数，满足前 $k$ 种元素出现次数模 $d$ 分别为 $i_1,i_2\cdots i_k$。
用 $k$ 位 $d$ 进制数表示状态 $(i_1,i_2\cdots i_k)$，矩阵快速幂加速 $\text{dp}$，时间复杂度 $O\left(g^{3k}\log n\right)$。
const int MAXS=27;
int mod;
struct Matrix{
int a[MAXS][MAXS];
Matrix(int type=0){
mem(a,0);
if(type){
_for(i,0,MAXS)
a[i][i]=1;
}
}
Matrix operator * (const Matrix &b)const{
Matrix c;
_for(i,0,MAXS)_for(j,0,MAXS)_for(k,0,MAXS)
c.a[i][j]=(c.a[i][j]+1LL*a[i][k]*b.a[k][j])%mod;
return c;
}
};
Matrix quick_pow(Matrix n,int k){
Matrix ans=Matrix(1);
while(k){
if(k&1)ans=ans*n;
n=n*n;
k>>=1;
}
return ans;
}
int c[5];
void decode(int s,int d,int k){
_for(i,0,k){
c[i]=s%d;
s/=d;
}
}
int encode(int d,int k){
int s=0;
for(int i=k-1;i>=0;i--)
s=s*d+c[i];
return s;
}
int main()
{
int T=read_int();
while(T--){
int n,k,g,ans=0;
n=read_int(),k=read_int(),mod=read_int(),g=read_int();
_rep(d,1,g){
Matrix m;
int s=1;
_for(i,0,k)s*=d;
_for(i,0,s){
decode(i,d,k);
m.a[i][i]=1;
_for(j,0,k){
c[j]=(c[j]+1)%d;
m.a[i][encode(d,k)]++;
c[j]=(c[j]+d-1)%d;
}
}
m=quick_pow(m,n);
ans=(ans+m.a[0][0])%mod;
}
enter(ans);
}
return 0;
}
