目录
Atcoder Rugular Contest 121
D - 1 or 2
题意
给定 $n$ 个数，要求将它们分组。每组可以有 $1\sim 2$ 个数，每组的权重为这组里面的所有数的和。
要求最小化权重最大的组和权重最小的组的权重差。
题解
首先考虑如果强制每组必须有两个数，则对任意两组 $(a_1,a_2),(a_3,a_4)$，设 $a_1$ 是这四个数中的最小值，则必有 $a_2$ 是这四个数中的最大值。
否则假定 $a_4$ 是这四个数中的最大值，考虑分组 $(a_1,a_4),(a_2,a_3)$。
则有 $\max(a_1+a_4,a_2+a_3)\le a_3+a_4,\min(a_1+a_4,a_2+a_3)\ge a_1+a_2$，显然更优。
于是设所有数为 $a_1\le a_2\le \cdots a_{2k}$，则最优分组为 $(a_1,a_{2k}),(a_2,a_{2k-1})\cdots (a_{k},a_{k+1})$。
一个数一组相当于这个数和 $0$ 一组。于是可以枚举向原序列中加入 $0\sim n$ 个 $0$ 的情况，然后按上述方法分组计算答案。
时间复杂度 $O(n^2)$。
E - Directed Tree
题意
给定一棵 $n$ 个结点的树，问有多少个 $1\sim n$ 的排列 $P$ 满足 $p_i$ 不是结点 $i$ 在树上的祖先结点(不包括自己)。
题解
设 $\text{dp}(u,i)$ 表示结点 $u$ 为根的子树中钦定 $i$ 个结点的 $p_i$ 是其祖先结点且该祖先结点位于结点 $u$ 为根的子树的方案数。
$\text{dp}$ 要求祖先结点必须位于结点 $u$ 为根的子树是为了防止子树背包合并时的冲突，另外不考虑非钦定结点的 $p_i$ 对方案的贡献，留在最后处理。
首先进行树形背包合并，得到不使用 $u$ 的方案数。接下来考虑用 $u$ 来钦定一个结点，得到状态转移
$$ \text{dp}(u,i)\gets (\text{sz}(u)-i)\text{dp}(u,i-1) $$
根据容斥定理，最终答案为
$$ \sum_{i=0}^n(-1)^i(n-i)!\text{dp}(u,i) $$
时间复杂度 $O(n^2)$。
F - Logical Operations on Tree
题意
给定一棵 $n$ 个结点的树，对每个点给定权值 $0$ 或 $1$，对每个边给定运算 $\text{And}$ 或 $\text{Or}$。
问有多少种方案使得下述条件成立：
存在合法操作序列，每次操作取一条边，对边相连的两个点进行缩点操作，新点的权值为这两个点的权值做边对应的运算。
使得最后只剩下一个点，且该点权值为 $1$。
题解
考虑与叶子结点相连的边对应的运算以及叶子结点的权值：
- 操作为 $\text{Or}$，叶子结点权值为 $1$：最后处理这条边，一定可以得到只剩下一个点，且该点权值为 $1$ 的情况。
- 操作为 $\text{Or}$，叶子结点权值为 $0$：该操作没有影响，不妨最先处理。
- 操作为 $\text{And}$，叶子结点权值为 $1$：该操作没有影响，不妨最先处理。
- 操作为 $\text{And}$，叶子结点权值为 $0$：该操作一定会使父结点权值变为 $0$，不难发现最先处理最优。
显然如果存在第一种情况那一定是合法方案，否则优先处理叶子结点一定是最优方案之一。
设 $\text{f}(u)$ 表示以 $u$ 为根的有根树按叶子结点依次处理的过程中一定不会出现第一种情况的方案数，$\text{g}(u)$ 表示在 $f(u)$ 中的合法方案数。
对 $f(u)$，首先 $u$ 权值任选，对应 $2$ 种方案。
然后对每个子结点 $v$，由于优先处理叶子结点，所以最后对 $g(v)$ 种方案，选取 $u \to v$ 这条边时 $v$ 最终权值一定是 $1$。
对 $f(v)-g(v)$，选取 $u \to v$ 这条边时 $v$ 最终权值一定是 $0$。
第二、三、四种情况的总贡献为 $f(v)-g(v)+g(v)+f(v)-g(v)=2f(v)-g(v)$，于是有 $f(u)=2\prod_{v\in \text{son}(u)} \left(2f(v)-g(v)\right)$。
对 $g(u)$，由于不存在第一种情况，而且必须为合法方案，易知 $u$ 权值必须为 $1$。
第四种情况非法，仅考虑第二、三种情况的贡献为 $f(v)-g(v)+g(v)=f(v)$，于是有 $f(u)=\prod_{v\in \text{son}(u)}f(v)$。
根据容斥，最后答案为 $2^{2n-1}-f(1)+g(1)$。总时间复杂度为 $O(n)$。
