Codeforces Raif Round 1 (Div. 1 + Div. 2)

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E. Carrots for Rabbits

题意

给定 $n$ 个数 $a_i$，要求数列 $b$ 满足

$\sum_{j=1}^{k_i} b_{i,j}=a_i$
$\sum_{i=1}^n k_i=k$
$k_i,b_{i,j}\in I^{+}$

要求最小化 $\sum b_{i,j}^2$。

题解

考虑函数 $f(i,j)$ 表示将 $a_i$ 分成 $j$ 份时的答案，显然均分为最佳策略。

考虑维护 $f(1,k_1),f(2,k_2)\cdots f(n,k_n)$，初始时 $k_i=1$。

每次操作选择一个 $i$，使得 $f(i,k_i)\to f(i,k_i+1)$，显然选择减小值最大的数最佳，可以优先队列维护。

共进行 $k$ 次操作(包括初始 $n$ 次入队操作)，时间复杂度 $O(k\log n)$。

查看代码

LL f(int a,int b){
	return 1LL*(a/b)*(a/b)*(b-a%b)+1LL*(a/b+1)*(a/b+1)*(a%b);
}
struct node{
	int a,k;
	LL d;
	node(int a=0,int k=0){
		this->a=a;
		this->k=k;
		d=f(a,k)-f(a,k+1);
	}
	bool operator < (const node &b)const{
		return d<b.d;
	}
};
priority_queue<node> q;
int main()
{
	int n=read_int(),k=read_int();
	LL ans=0;
	_for(i,0,n){
		int a=read_int();
		q.push(node(a,1));
		ans+=1LL*a*a;
	}
	while(n<k){
		node temp=q.top();q.pop();
		ans-=temp.d;
		q.push(node(temp.a,temp.k+1));
		n++;
	}
	enter(ans);
	return 0;
}

G2. Lucky Numbers (Hard Version)

题意

给定一个表，代表每个位的权值。定义一个数的权值和为每个位的权值和。

接下来若干询问，要求将给定的数 $n$ 拆分成 $k$ 个数，使得拆分得到的数的权值和最大。

数据范围保证 $n,k\le 10^6$。

题解

先考虑将 $n$ 全部拆分为每个位均为 $0,3,6,9$ 的数的情况。发现可以先计算出每个位的情况，最后将不同位任意组合，即可得到 $k$ 个数。

而对与每个位，发现可以将 $6$ 视为 $2$ 个 $3$，$9$ 视为 $3$ 个 $3$。于是等价于每个位均可以选择至多 $3k$ 个价值为 $F_i$，重量为 $3\times 10^i$ 的物品。

最后只需要所有位的物品重量和等于 $n$ 即可。接下来考虑不能使得最后物品重量和等于 $n$ 的情况。

对每个位的情况，可以证明拆分中至多有一个数的该位不为 $3$ 的倍数。否则如果有两个数该位不为 $3$ 的倍数，记为 $a,b$。

若 $a+b\ge 9$，则将这两位修改为 $a+b-9,9$。否则，将这两位修改为 $0,a+b$。总能使得最终权值和不减。

于是不妨将所有不为 $3$ 的倍数集中到一个数上面，等价于将 $n$ 拆分为一个任意数和 $k-1$ 个每个位均为 $3$ 的倍数的数。

于是先预处理出 $0\sim 99999$ 的权值作为背包的基础值，然后跑二进制优化的 $01$ 背包即可。

总时间复杂度 $O(18v\log k+q)$，其中 $v=10^6$。

查看代码

const int MAXN=1e6,MAXC=205;
LL dp[MAXN],v[MAXC],w[MAXC];
int f[10];
int main()
{
	int k=read_int(),cnt=0;
	_for(i,0,6)f[i]=read_int();
	_for(i,1,MAXN){
		for(int j=0,t=i;j<6;j++,t/=10)
		dp[i]+=1LL*(t%10%3==0)*(t%10/3)*f[j];
	}
	k=3*(k-1);
	for(int i=0,pow_10=1;i<6;i++,pow_10*=10){
		int t=k;
		for(int j=1;j<=t;j<<=1){
			v[cnt]=1LL*f[i]*j,w[cnt++]=3LL*pow_10*j;
			t-=j;
		}
		if(t)v[cnt]=1LL*f[i]*t,w[cnt++]=3LL*pow_10*t;
	}
	_for(i,0,cnt)
	for(int j=MAXN-1;j>=w[i];j--)
	dp[j]=max(dp[j],dp[j-w[i]]+v[i]);
	int q=read_int();
	while(q--)
	enter(dp[read_int()]);
	return 0;
}

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