LGV 引理
算法简介
一种统计有向无环图不相交路径集的算法。
算法原理
定义路径的权值 $w(P)$ 表示路径 $P$ 的所有边权之积。
定义 $e(u,v)$ 表示所有 $u\to v$ 的路径的权值之和，即 $e(u,v)=\sum_{P\in\{u\to v\}}w(P)$。
定义起点集合为 $A$，其中第 $i$ 个起点为 $a_i$。终点集合为 $B$，其中第 $i$ 个终点为 $b_i$。
定义路径组的集合 $S(A,B)$，$S(A,B)$ 中的每个元素 $c$ 表示一个路径组，含有 $n$ 条路径，其中第 $i$ 条路径 $a_i\to b_{p_i}$，$P$ 是 $1\sim n$ 的排列。
定义 $N(c)$ 表示路径组 $c$ 的 $P$ 排列中的逆序对个数，$w(c)$ 表示路径组 $c$ 的所有路径权值之积。
设
$$ M=\begin{bmatrix} e(a_1,b_1)&e(a_1,b_2)&\cdots&e(a_1,b_n)\\ e(a_2,b_1)&e(a_2,b_2)&\cdots&e(a_2,b_n)\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ e(a_n,b_1)&e(a_n,b_2)&\cdots&e(a_n,b_n)\\ \end{bmatrix} $$
则有
$$ \det M=\sum_{c\in S(a,b)}(-1)^{N(c)}w(c) $$
特别的，令图上所有边权为 $1$，同时限定 $a_i$ 的对应点一定是 $b_i$，即 $c$ 的排列就是 $1\sim n$。
此时有 $N(c)=0,w(c)=1$，于是
$$ \det M=\sum_{c\in S(a,b)}1 $$
算法模板
给定一个二维平面，求满足如下条件的 $k$ 元路径组个数：
- 第 $i$ 条路径 $(1,a_i)\to (n,b_i)$
- 每次移动只能选择 $(x,y)\to (x,y+1),(x+1,y)$
显然 $e(i,j)={n-1+b_j-a_i\choose n-1}$，然后直接跑高斯消元板子，时间复杂度 $O\left(k^3\right)$。
算法例题
题意
给定一个二维平面，求满足如下条件的 $n$ 元路径组个数：
- 第 $i$ 条路径 $(a_i,0)\to (0,i)$
- 每次移动只能选择 $(x,y)\to (x-1,y),(x,y+1)$
数据保证 $a_{i-1}\lt a_i$。
题解
显然有
$$ M= \begin{bmatrix} {a_1+1\choose 1}&{a_1+2\choose 2}&\cdots&{a_1+n\choose n}\\ {a_2+1\choose 1}&{a_2+2\choose 2}&\cdots&{a_2+n\choose n}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ {a_n+1\choose 1}&{a_n+2\choose 2}&\cdots&{a_n+n\choose n}\\ \end{bmatrix} = \prod_{i=1}^n \frac 1{i!} \begin{bmatrix} \frac {(a_1+1)!}{a_1!}&\frac {(a_1+2)!}{a_1!}&\cdots&\frac {(a_1+n)!}{a_1!}\\ \frac {(a_2+1)!}{a_2!}&\frac {(a_2+2)!}{a_2!}&\cdots&\frac {(a_2+n)!}{a_2!}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ \frac {(a_n+1)!}{a_n!}&\frac {(a_n+2)!}{a_n!}&\cdots&\frac {(a_n+n)!}{a_n!}\\ \end{bmatrix} $$
设 $x_i=a_i+1$，则
$$ M= \prod_{i=1}^n \frac 1{i!} \begin{bmatrix} x_1&x_1(x_1+1)&\cdots&\prod_{i=0}^{n-1}(x_1+i)\\ x_2&x_2(x_2+1)&\cdots&\prod_{i=0}^{n-1}(x_2+i)\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ x_n&x_n(x_n+1)&\cdots&\prod_{i=0}^{n-1}(x_n+i)\\ \end{bmatrix} $$
从左到右用列消元，可以得到
$$ M= \prod_{i=1}^n \frac 1{i!} \begin{bmatrix} x_1&x_1^2&\cdots&x_1^n\\ x_2&x_2^2&\cdots&x_2^n\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ x_n&x_n^2&\cdots&x_n^n\\ \end{bmatrix} $$
每行都提出一个 $x_i$，就可以得到一个范德蒙行列式，于是有
$$ \det M=\prod_{i=1}^n \frac {a_i+1}{i!}\prod_{1\le i\lt j\le n}(a_j-a_i) $$
考虑 $\text{NTT}$ 计算每个值在 $\prod_{1\le i\lt j\le n}(a_j-a_i)$ 出现的次数。
具体的，可以设 $f(x)=\sum_{i=1}^n x^{a_i},g(x)=\sum_{i=1}^n x^{-a_i}$，则每个值 $k$ 出现次数就是 $[x^k]f(x)g(x)$。
注意还有 $i\lt j$ 的限制，根据对称性，考只考虑 $k\gt 0$ 的部分贡献然后做快速幂即可，时间复杂度 $O(V\log V)$。
