• $P$ 点：必败点，换而言之，就是谁处于此位置，则在双方操作正确的情况下必败。
• $N$ 点：必胜点，处于此情况下，双方操作均正确的情况下必胜。

必胜点和必败点的性质：

• 所有终结点是必败点 $P$。
• 从任何必胜点 $N$ 操作，至少有一种方式可以进入必败点 $P$。
• 无论如何操作，必败点 $P$ 都只能进入必胜点 $N$。

两个人玩这个游戏，他们轮流操作。

有若干堆石子，每堆石子的数量都是有限的。

一次合法的移动是 “选择一堆石子并拿走若干颗（不能不拿）”。

如果轮到某个人时所有的石子堆都已经被拿空了，则判负。

如果双方都按照最优策略，谁必胜？

对于一个 nim 游戏的局面 $(a_1,a_2,\cdots,a_n)$，它是 $P$ 点当且仅当： $$ a_1\oplus a_2\oplus\cdots\oplus a_n=0 $$ 【证明】

1. 终结点只有一种，就是 $(0,0,\cdots,0)$，显然符合异或和为 $0$，为 $P$ 点。
2. 对于 $(a_1,a_2,\cdots,a_n)$ 且 $a_1\oplus a_2\oplus\cdots\oplus a_n=0$，经一次移动后必然到达 $(b_1,b_2,\cdots,b_n)$，其中 $$ b_1\oplus b_2\oplus\cdots\oplus b_n\ne 0 $$ 从而到达 $N$ 点。
3. 对于 $(a_1,a_2\cdots,a_n)$ 且 $a_1\oplus a_2\oplus\cdots\oplus a_n\ne 0$，必存在移动方法可以到达 $P$ 点。

我们设 $a_1\oplus a_2\oplus\cdots\oplus a_n=k$，那么设 $k$ 的二进制表示下最高位的 $1$ 为 第 $p$ 位。

那么，$a_1,a_2,\cdots,a_n$ 中必定存在至少一个 $a_i$ 使得 $a_i$ 二进制表示下第 $p$ 位为 $1$。

从而，将第 $i$ 堆石头取 $a_i-a_i\oplus k$ 个石头即可保证一定到达 $P$ 点。

首先，由于 $a_i\oplus k$ 第 $p$ 位为 $0$，所以 $a_i\oplus k<a_i$，从而 $a_i-a_i\oplus k>0$，符合游戏规则。

并且，取 $a_i-a_i\oplus k$ 个石头后，第 $i$ 堆石头变为 $a_i\oplus k$，对于新局面 $(a_1,a_2,\cdots,a_i\oplus k,\cdots,a_n)$： $$ a_1\oplus a_2\oplus\cdots\oplus(a_i\oplus k)\oplus\cdots\oplus a_n=k\oplus k=0 $$ 从而一定为 $P$ 点。