如何用 $\text{Splay}$ 维护二叉查找树

$\text{Splay}$ 是一种二叉查找树，它通过不断将某个结点旋转到根结点，使得整棵树仍然满足二叉查找树的性质，并且保持平衡而不至于退化为链，它由 Daniel Sleator 和 Robert Tarjan 发明。

首先肯定是一棵二叉树！

能够在这棵树上查找某个值的性质：左子树任意结点的值 $<$ 根结点的值 $<$ 右子树任意结点的值。

• $\text{maintain(x)}$：在改变结点位置后，将结点 $x$ 的 $\text{size}$ 更新
• $\text{get(x)}$：判断结点 $x$ 是父亲结点的左儿子还是右儿子。
• $\text{clear(x)}$：销毁结点 $x$。

void maintain(int x) { sz[x] = sz[ch[x][0]] + sz[ch[x][1]] + cnt[x]; }
bool get(int x) { return x == ch[fa[x]][1]; }
void clear(int x) { ch[x][0] = ch[x][1] = fa[x] = val[x] = sz[x] = cnt[x] = 0; }

为了使 $\text{Splay}$ 保持平衡而进行旋转操作，旋转的本质是将某个结点上移一个位置。

旋转需要保证：

• 整棵 $\text{Splay}$ 的中序遍历不变（不能破坏二叉查找树的性质）。
• 受影响的结点维护的信息依然正确有效。
• $\text{root}$ 必须指向旋转后的根结点。

在 $\text{Splay}$ 中旋转分为两种：左旋和右旋。

具体分析旋转步骤（假设需要旋转的结点为 $x$，其父亲为 $y$，以右旋为例）

1. 将 $y$ 的左儿子指向 $x$ 的右儿子，且 $x$ 的右儿子的父亲指向 $y$。ch[y][0]=ch[x][1];fa[ch[x][1]]=y;
2. 将 $x$ 的右儿子指向 $y$，且 $y$ 的父亲指向 $x$。ch[x][chk^1]=y;fa[y]=x;
3. 如果原来的 $y$ 还有父亲 $z$，那么把 $z$ 的某个儿子（原来 $y$ 所在的儿子位置）指向 $x$，且 $x$ 的父亲指向 $z$。fa[x]=z;if(z) ch[z][y==ch[z][1]]=x;

void rotate(int x) {
  int y = fa[x], z = fa[y], chk = get(x);
  ch[y][chk] = ch[x][chk ^ 1];
  fa[ch[x][chk ^ 1]] = y;
  ch[x][chk ^ 1] = y;
  fa[y] = x;
  fa[x] = z;
  if (z) ch[z][y == ch[z][1]] = x;
  maintain(y);
  maintain(x);
}

$\text{Splay}$ 规定：每访问一个结点后都要强制将其旋转到根结点。此时旋转操作具体分为 $6$ 种情况讨论（其中 $x$ 为需要旋转到根的结点）

• 如果 $x$ 的父亲是根结点，直接将 $x$ 左旋或右旋（图 $1,2$）。
• 如果 $x$ 的父亲不是根结点，且 $x$ 和父亲的儿子类型相同，首先将其父亲左旋或右旋，然后将 $x$ 右旋或左旋（图 $3,4$）。
• 如果 $x$ 的父亲不是根结点，且 $x$ 和父亲的儿子类型不同，将 $x$ 左旋再右旋、或者右旋再左旋（图 $5,6$）。

分析起来一大串，其实代码一小段。大家可以自己模拟一下 $6$ 种旋转情况，就能理解 $\text{Splay}$ 的基本思想了。

void splay(int x) {
  for (int f = fa[x]; f = fa[x], f; rotate(x))
    if (fa[f]) rotate(get(x) == get(f) ? f : x);
  rt = x;
}

插入操作是一个比较复杂的过程，具体步骤如下（插入的值为 $k$）：

• 如果树空了则直接插入根并退出。
• 如果当前结点的权值等于 $k$ 则增加当前结点的大小并更新结点和父亲的信息，将当前结点进行 $\text{Splay}$ 操作。
• 否则按照二叉查找树的性质向下找，找到空结点就插入即可（当然别忘了 $\text{Splay}$ 操作）。

void ins(int k) {
  if (!rt) {
    val[++tot] = k;
    cnt[tot]++;
    rt = tot;
    maintain(rt);
    return;
  }
  int cnr = rt, f = 0;
  while (1) {
    if (val[cnr] == k) {
      cnt[cnr]++;
      maintain(cnr);
      maintain(f);
      splay(cnr);
      break;
    }
    f = cnr;
    cnr = ch[cnr][val[cnr] < k];
    if (!cnr) {
      val[++tot] = k;
      cnt[tot]++;
      fa[tot] = f;
      ch[f][val[f] < k] = tot;
      maintain(tot);
      maintain(f);
      splay(tot);
      break;
    }
  }
}

根据二叉查找树的定义和性质，显然可以按照以下步骤查询 $x$ 的排名：

• 如果 $x$ 比当前结点权值小，向其左子树查找。
• 如果 $x$ 比当前结点权值大，将答案加上左子树（$size$）和当前结点（$cnt$）的大小，向其右子树查找。
• 如果 $x$ 与当前结点的权值相同，将答案加 $1$ 并返回。

注意最后需要进行 $\text{Splay}$ 操作。

int rk(int k) {
  int res = 0, cnr = rt;
  while (1) {
    if (k < val[cnr]) {
      cnr = ch[cnr][0];
    } else {
      res += sz[ch[cnr][0]];
      if (k == val[cnr]) {
        splay(cnr);
        return res + 1;
      }
      res += cnt[cnr];
      cnr = ch[cnr][1];
    }
  }
}

设 $k$ 为剩余排名，具体步骤如下：

• 如果左子树非空且剩余排名 $k$ 不大于左子树的大小 $size$，那么向左子树查找。
• 否则将 $k$ 减去左子树和根的大小。如果此时 $k$ 的值小于等于 $0$，则返回根结点的权值，否则继续向右子树查找。

int kth(int k) {
  int cnr = rt;
  while (1) {
    if (ch[cnr][0] && k <= sz[ch[cnr][0]]) {
      cnr = ch[cnr][0];
    } else {
      k -= cnt[cnr] + sz[ch[cnr][0]];
      if (k <= 0) {
        splay(cnr);
        return val[cnr];
      }
      cnr = ch[cnr][1];
    }
  }
}

前驱定义为小于 $x$ 的最大的数，那么查询前驱可以转化为：将 $x$ 插入（此时 $x$ 已经在根的位置了），前驱即为 $x$ 的左子树中最右边的结点，最后将 $x$ 删除即可。

int pre() {
  int cnr = ch[rt][0];
  while (ch[cnr][1]) cnr = ch[cnr][1];
  splay(cnr);
  return cnr;
}

后继定义为大于 $x$ 的最小的数，查询方法和前驱类似：$x$ 的右子树中最左边的结点。

int nxt() {
  int cnr = ch[rt][1];
  while (ch[cnr][0]) cnr = ch[cnr][0];
  splay(cnr);
  return cnr;
}

合并两棵 Splay 树，设两棵树的根结点分别为 $x$ 和 $y$，那么我们要求 $x$ 树中的最大值小于 $y$ 树中的最小值。合并操作如下：

• 如果 $x$ 和 $y$ 其中之一或两者都为空树，直接返回不为空的那一棵树的根结点或空树。
• 否则将 $x$ 树中的最大值 $\text{Splay}$ 到根，然后把它的右子树设置为 $y$ 并更新结点的信息，然后返回这个结点。

删除操作也是一个比较复杂的操作，具体步骤如下：

首先将 $x$ 旋转到根的位置。

• 如果 $cnt[x]>1$（有不止一个 $x$），那么将 $cnt[x]$ 减 $1$ 并退出。
• 否则，合并它的左右两棵子树即可。

void del(int k) {
  rk(k);
  if (cnt[rt] > 1) {
    cnt[rt]--;
    maintain(rt);
    return;
  }
  if (!ch[rt][0] && !ch[rt][1]) {
    clear(rt);
    rt = 0;
    return;
  }
  if (!ch[rt][0]) {
    int cnr = rt;
    rt = ch[rt][1];
    fa[rt] = 0;
    clear(cnr);
    return;
  }
  if (!ch[rt][1]) {
    int cnr = rt;
    rt = ch[rt][0];
    fa[rt] = 0;
    clear(cnr);
    return;
  }
  int cnr = rt, x = pre();
  splay(x);
  fa[ch[cnr][1]] = x;
  ch[x][1] = ch[cnr][1];
  clear(cnr);
  maintain(rt);
}

以下题目都是裸的 $\text{Splay}$ 维护二叉查找树。

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