CVBB ACM Team

ZYB对数学有敏锐的直觉，尤其是在几何问题上。

几何问题是这样的：求∠CAM的值。

或者是这样的：如果AC=x−3，BE=20，AB=16，CD=x+5，求x。

为了更容易地分析问题，输入将包含逻辑形式，而不是原始的问题文本和图表。

• 数字。使用十进制整数表示数字。
• 未知数字。x是唯一未知的数字。
• 表达式。表达式可以是一个数字，也可以是一个表达式，其中x只出现一次，最多一次加减法，最多一次乘法。乘法符号可以省略。
  • 例如：233，3x+5，x*2+3，x-2是有效表达式，但3x+5-3，x+2x，5*3，2y不是。
• 点。使用单大写字母表示点。
• 线。用Line(Point, Point)来表示一条线（实际上它是一条线段）。
  • 例如：Line(A, B)。
• 角。使用Angle(Point, Point, Point)来表示一个角。
  • 例如：Angle(A,B,C)。
• 圆。使用Circle(Point)表示具有特定中心的圆。
  • 例如：Circle(O)。
• 线段长。使用LengthOf(Line)来获得特定线段的长度值。
  • 例如：LengthOf(Line(A, B))。
• 角度。用MeasureOf(Angle)得到特定角度的度数值。
  • 例如：MeasureOf(Angle(A,B,C))。
• 项（Term）。项=线段长|角度|表达式。
• 相等。使用Equals(Term,Term)来声明这两个项的值相等。
  • 例如：Equals(LengthOf(A,B), 2)、Equals(MeasureOf(angle(A, B, C))。
• 垂直。使用Perpendicular(Line, Line)表示两条垂直线。
  • 例如：Perpendicular(Line (A, C), Line(B, D))。
• 平行。使用Parallel(Line,Line)表示两条平行线。保证各点都是有序的。
  • 例如：Parallel(Line (A, C), Line(B, D))。
• 点在线上。使用PointLiesOnLine(Point, Line)来表示位于直线上的点。
  • 例如：PointLiesOnLine(A, Line(B, C))。
• 点在圆上。使用PointLiesOnCircle(Point, Circle)表示位于圆上的点。
  • 例如：PointLiesOnCircle(A, Circle(O))。
• 问题。使用Find(Term)来询问给定项的确切值。
  • 例如：Find(x)、Find(LengthOf(Line(A,B)))。

请注意，图和文本中的所有条件都将转换为逻辑形式。你现在得到了一个只有一个问题（Find phrase）的逻辑表单列表，并希望找到解决方案。

• 平角定理：如果点C位于AB上，则∠ACB=180∘。
• 等腰三角形定理：在三角形ABC中，如果AB=AC，则∠ACB=∠ABC，反之亦然。
• 三角形内角和定理：任何三角形的三个内角加起来等于180∘。
• 勾股定理：在直角三角形中，如果三条边的长度分别是a，b，c（其中c是斜边），那么a^2+b^2=c^2。
  • 这个定理的逆定理也成立，但是暂时用不到。
• 全等三角形定理：两个三角形满足下列条件时为全等。
  • SSS：如果三条边对应相等，则两个三角形全等。
  • SAS：如果两边及其夹角对应相等，则两个三角形全等。
  • AAS和ASA：如果有两个对应角相等（相似），又有一组对应边相等，则两个三角形全等。
  • HL：对应斜边和对应直角边相等的两个直角三角形全等。
  • 在全等三角形中，对应边和对应角相等。
• 相似三角形定理：两个三角形在满足以下条件时是相似的。
  • SSS：三条对应边成比例的两个三角形相似。
  • SAS：两条对应边成比例，且夹角相等，则两个三角形相似。
  • AA：两个对应角相等的两个三角形相似。
  • HL：对应斜边和对应直角边成比例的两个直角三角形相似。
  • 在相似三角形中，对应角相等，对应边成比例。
• 平行线定理：如果两条直线平行，则同位角（corresponding）相等，内错角（alternate）相等，同旁内角（interior）互补（supplementary）。
• 直径相等定理：同一个圆的不同直径相等。圆的中心也是每个直径的中点。
• 圆上点定理：如果AB是圆O的直径，另一个点C位于圆O上，则∠ACB=90∘。

• 逻辑形式可以嵌套。
• 保证每个案例至少有一个好的解决方案。一个好的解决方法是：你可以用上面的定理一步一步地解决问题；每一步之后，你获得的新值都是有效表达式（这也意味着表达式中涉及的数字总是整数）；步骤数不超过4。
• 给定的逻辑形式是充分的。
  • 例如：如果一个段上有四个点A，B，C，D，那么将列出四个相应的PointLiesOnLine短语（A-B-C，A-B-D，A-C-D，B-C-D）。
  • 例如：如果给你一个短语Perpendicular(Line (A, C), Line(B, D))，这两条线的交集也会给出。
    • 即：PointLiesOnLine(E, Line(A, C))和PointLiesOnLine(E, Line(B, D))，如果交集是E。
• 如果AO、BO、CO是三个不同的线段，则很难检测哪个线段位于中间。在这个问题中，您不需要在∠AOB、∠AOC、∠BOC之间建立关系。
  • 除非在这种明显的情况下：如果B位于AC上，则可以使用∠AOC=∠AOB+∠BOC。
• 所有的数据都来自现实世界的问题，而不是人工构建的。
• 总共有20个问题。从中选取样本（包括10个问题）。