给出两个同心圆，内圆给出 $𝑛$ 个切点构成的凸多边形，现在在凸多边形与外圆之间随机均匀地选择一个点，求出这个点到这 $𝑛$ 个切点之中最小的距离（路径不跨过任何边界）$𝑋$，求 $𝐸(X^2)$

将图根据原点到凸多边形的每个顶点所作出的射线划分区域，每个区域的点所对应的切点是对应的，求出两条射线的夹角 $\theta_1,\theta_2$ ，以及对应切点夹角 $\alpha$ 即可将每种情况转化为 $\theta_1^\prime=\theta_1-\alpha<0<\theta_2-\alpha=\theta_2^\prime$ 的情况，设当前区域中一点 $(r,\theta)$，此时 $X^2=r^2+R_1^2-2rR_1\cos\theta$，于是有积分 $$ \begin{aligned} A_i=&\int_{\theta_1}^{\theta_2}\mathrm d\theta\int_{R_1\sec\theta}^{R_2} (r^2+R_1^2-2rR_1\cos\theta)\cdot r\,\mathrm dr\\ =&\int_{\theta_1}^{\theta_2}\left[\dfrac14r^4-\dfrac23R_1\cos\theta r^3+\dfrac12R_1^2r^2 \right]_{R_1\sec\theta}^{R_2} \,\mathrm d\theta\\ =&\left(\dfrac14R_2^4+\dfrac12R_1^2R_2^2 \right)(\theta_2-\theta_1)+\int_{\theta_1}^{\theta_2}\left(-\dfrac23R_1R_2^3\cos\theta-\dfrac14R_1^4\sec^4\theta+\dfrac16R_1^4\sec^2\theta\right)\,\mathrm d\theta\\ =&\left(\dfrac14R_2^4+\dfrac12R_1^2R_2^2 \right)(\theta_2-\theta_1)+\left(-\dfrac23R_1R_2^3\right)(\sin\theta_2-\sin\theta_1)+(-\dfrac1{12}R_1^4)(\tan\theta_2\sec^2\theta_2-\tan\theta_1\sec^2\theta_1) \end{aligned} $$ 最后答案即为 $\dfrac{\sum A_i}{S}$，$S$ 为区域总面积。